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Multiplicity estimates and the product theorem. (English) Zbl 0841.11037
L’estimation de l’ordre d’annulation de polynômes sur certains ensembles prescrits est un des points clef de l’approximation diophantienne. Les lemmes de zéros dans les groupes algébriques commutatifs permettent de démontrer des résultats de transcendance, d’indépendance algébrique ou des minorations de formes linéaires de logarithmes. L’approximation algébrique (théorème de Roth, du sous-espace, …) fait appel à des lemmes de zéros correspondants au cas des puissances du groupe additif dans le contexte précédent: lemma de Roth, de Dyson et plus récemment théorème dit du produit. L’auteur met en perspective ces différents aspects des lemmes de zéros et montre comment les démonstration s’articulent autour des mêmes idées, qu’il décrit dans le language de la géométrie algébrique. En fait, le critique a tout récomment affiné le lemme de zéros dans les groupes algébriques commutatifs [Rocky Mt. J. Math. (à paraître)] et une version effective du théorème du produit, telle qu’établie par J. H. Evertse [Acta Arith. 73, No. 3, 215-248 (1995)], voir aussi R. Ferretti [Forum Math. (à paraître)], se déduit naturellement du cas des puissances du groupe additif.
L’auteur, pour sa part, généralise le lemme de zéros aux groupes agissant sur une variété (multi)projective, et même sous certaines conditions aux groupes noncommutatifs. Par exemple, soit \(X\) une variété projective sur laquelle agit un groupe \(G\) connexe, commutatif de sorte que la clôture de l’orbite d’un point \(x\in X\) soit projectivement normale de dimension \(n\), \(X\) et \(G\) étant définis sur le corps des nombres complexes. Soit \(S\) un sous-ensemble fini de \(G\) et \(S_n= \{g_1+ \cdots+ g_n\); \(g_i\in S\}\), si une forme de degré \(d\) s’annule à un ordre \(\geq nT+1\) le long d’un sous-groupe analytique \(A\) de \(G\) en tout point de \(S_n x\) alors il existe un sous-groupe \(H\subset G\) et un élément \(g \in G\) tels que pour tout \(g'\in S\) le polynôme \(P\) s’annule sur \(g' gHx\) et \[ {{T^{\text{codim}_{Ax} ((A\cap H)x)}} \over {\text{codim}_{Ax} ((A\cap H)x)!}} \cdot \text{card} ((S+H) x/Hx)\cdot \deg (Hx)\leq \deg (Gx)\cdot (cd)^{\text{codim}_{Gx} (Hx)}. \] Il est probable qu’en adaptant la preuve du lemme de zéros affiné mentionné ci-dessus, le facteur \(1/ \text{codim}_{Ax} ((A\cap H)x)!\) puisse être supprimé et, qu’en reprenant une idée de L. Denis [Comment. Math. Helv. 70, No. 2, 235-247 (1995)], la constante \(c\) puisse être prise égale à 1.

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
14C17 Intersection theory, characteristic classes, intersection multiplicities in algebraic geometry
14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients)
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