×

Topology of generic leaves. (Topologie des feuilles génériques.) (French) Zbl 0843.57026

C’est un travail qui donne un réponse rigoureuse au problème concernant la classification des feuilles génériques dans le contexte des laminations (de dimension deux). En dimension supérieure un liste finie de feuilles génériques n’est plus possible (v. un exemple de l’auteur). On étudie les laminations ayant deux bouts ou un ensemble de Cantor de bouts.
Théorème: Soit \(\mathcal F\) une lamination orientable de dimension 2 sur un espace compact quelconque. Si \(\mathcal F\) n’a pas de feuille compacte, alors une infinité non dénombrable de ses feuilles sont difféomorphes à l’une des six surfaces suivantes: le plan \(\mathbb{R}^2\), le “monstre du Loch-Ness”, le cylindre \(S^1 \times \mathbb{R}\), l’“échelle de Jacob”, l’“arbre de Cantor”, l’“arbre de Cantor fleuri”.
Ensuite on décrit l’espace des bouts d’une feuille générique.
Théorème: Soit \(\mathcal F\) une lamination d’un espace compact \(M\) et \(\mu\) une mesure harmonique (par rapport à une métrique quelconque le long des feuilles). Alors, la feuille de \(\mathcal F\) passant par \(\mu\)-presque tout point de \(M\) a 0, 1, 2 ou un ensemble de Cantor de bouts.
De plus l’auteur démontre un résultat analogue au théorème de structure de Stallings concernant les groupes ayant une infinité de bouts.

MSC:

57R30 Foliations in differential topology; geometric theory
53C12 Foliations (differential geometric aspects)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI