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Lie bialgebroids and Poisson groupoids. (English) Zbl 0844.22005
Les groupoïdes de Poisson sont aux groupoïdes ce que les groupes de Poisson sont aux groupes. La notion de groupe de Poisson est due à Drinfeld, celle de groupoïde de Poisson à Weinstein. Si \((G, \Lambda)\) est un groupe de Poisson, l’objet infinitésimal associé est une bigèbre de Lie qui se présente comme la donnée sur l’algèbre de Lie \({\mathcal G}\) de \(G\) d’une structure de Lie Poisson “compatible”. Il revient au même de dire que \({\mathcal G}^*\), dual de \({\mathcal G}\), qui est canoniquement une variété de Lie Poisson est munie d’une structure d’algèbre de Lie compatible. La dualité entre \({\mathcal G}\) et \({\mathcal G}^*\) relie structure d’algèbre de Lie sur l’une et structure de Lie Poisson sur l’autre.
Weinstein avait observé que si \((G \Rightarrow G_0, \Lambda)\) est un groupoïde de Poisson, AG son algébroïde de Lie, \(A^*G\) le fibré dual, \(A^*G\) est munie d’une structure d’algébroide de Lie provenant de ce que \(G_0\) est coïsotrope dans \(G\). Comme il y a équivalence de catégorie entre la catégorie des algébroïdes de Lie et la catégorie des variétés de Lie Poisson [le rapporteur et D. Sondaz, Variétés de Poisson – Algébroïdes de Lie, Publ. Dept. Math. Lyon 1-B, 1-68 (1988)] on se trouve pour les groupoïdes dans une situation analogue à celle des groupes sauf qu’a priori la condition de compatibilité est plus difficile à établir.
Pour ceci, les auteurs commencent par décrire un crochet de Schouten pour les sections d’un algébroïde de Lie, ce qui leur permet de définir abstraitement la notion de bialgébroïde de Lie: \((A \to P,\{\;\},a)\) est un bialgébroïde de Lie si le fibré dual \(A^*\) est également un algébroïde de Lie et si il existe une condition de compatibilité. La dissymétrie de la définition impose de prouver la dualité: si \((A, A^*)\) est une bialgébroïde de Lie \((A^*, A)\) en est un (Th. 3.10). L’exemple des bialgébroïdes triangulaires est donné. Le reste de l’article a pour but de montrer que si \((G, \Lambda)\) est un groupoïde de Poisson, \((AG, A^*G)\) est un bialgébroïde de Lie (Th. 8.3). Ceci peut se déduire directement de la structure de groupoïde de Poisson [le second auteur, Int. J. Math. 6, No. 1, 101-124 (1995; Zbl 0836.58019)]. Ici les auteurs préfèrent obtenir ce résultat par différentes constructions catégoriques: les auteurs rappellent les structures de groupoïde double du groupoïde tangent (Ehresmann) et du groupoïde cotangent (Coste-Dazord-Weinstein), donnent leurs versions infinitésimales (algébroïde tangent et cotangent), établissent les liens entre \(AT \Gamma\), \(AT^* \Gamma\), \(TA \Gamma\), \(T^*A \Gamma\) et \(T^* A^* \Gamma\). Rappelons que la bonne notion de morphisme d’algébroïde de Lie est celle contenue dans l’équivalence de catégorie indiquée plus haut.

MSC:
22A22 Topological groupoids (including differentiable and Lie groupoids)
58H05 Pseudogroups and differentiable groupoids
17B66 Lie algebras of vector fields and related (super) algebras
53D17 Poisson manifolds; Poisson groupoids and algebroids
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