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Algebraic points on subvarieties of \(\mathbb{G}_ m^ n\). (English) Zbl 0848.11030
Soit \(X\) une sous-variété algébrique du groupe multiplicatif \(\mathbb{G}^n_M\), définie sur un corps de nombres \(K\), on note \(X^*\) (resp. \(X^0\)) le complémentaire dans \(X\) de la réunion de tous les translatés de sous-groupes par des points de torsion (resp. translatés de sous-groupes non triviaux) de \(\mathbb{G}^n_M\), contenus dans \(X\). On a \(X^0\subset X^*\cup (X^0\cap\{\)points de torsion de \(\mathbb{G}^n_m\})\). On désigne par \(\widehat h\) la hauteur “canonique” (i.e. de Mahler-Weil) sur \(\mathbb{G}^n_m\).
M. Laurent a montré que \(X\backslash X^*\) n’a qu’un nombre fini de composantes effectivement borné en fonction de \(n\), \([K: \mathbb{Q}]\), \(d(X)\) et \(h(X)\) (degré et hauteur projective de \(X\) dans \(\mathbb{P}_n\)). H. P. Schlickewei a prouvé que \(X^0\cap\{\)points de torsion de \(\mathbb{G}^n_m\}\) est de cardinal fini. S. Zhang a établit l’existence d’un réel \(\gamma'= \gamma'(n, d(X), h(X), [K: \mathbb{Q}])\) tel que pour tout \(p\in X^*(\overline \mathbb{Q})\) on ait \(\widehat h(p)> \gamma'\), résultat précisé par différents auteurs dans des cas particuliers: D. Zagier, F. Beukers (droite dans \(\mathbb{G}^2_m\)), W. M. Schmidt (certaines hypersurfaces de \(\mathbb{G}^n_m\)).
Les auteurs établissent quant à eux que \(X^0\) est ouvert dans \(X\) pour la topologie de Zariski et qu’il existe un réel \(\gamma= \gamma(n, d(X))\) et un entier \(N= N(n, d(X))\) effectivement calculables tels que pour tout \(q\in \mathbb{G}^n_m(\overline \mathbb{Q})\) l’ensemble \(\{p\in X^0(\overline \mathbb{Q}); \widehat h(pq^{- 1})\leq \gamma\}\) est de cardinal borné par \(N\).
Ce résultat, arithmétiquement uniforme, est déduit de l’énoncé précédent de Zhang (également redémontré dans le texte, par des arguments plus élémentaires) en plongeant \(X\) dans une sous-variété déterminant universelle, d’une puissance convenable de \(\mathbb{G}^n_m\) (selon la méthode introduite par Schlickewei).
Rappelons que, dans le cas \(n= 1\), le problème de Lehmer s’énonce: existe-t-il un réel \(\gamma_0> 0\) tel que pour tout \(p\in \mathbb{G}_m(\overline {\mathbb{Q}})\), non de torsion, on ait \(\widehat h(p)\geq \gamma_0/[\mathbb{Q}(p): \mathbb{Q}]\)? En dimension supérieure \((n> 1)\) on déduit du résultat des auteurs que \(\widehat h(X)\geq d(X)\cdot \gamma(n, d(X))\) lorsque \(X\) n’est pas translatée d’un sous-groupe algébrique (par un point quelconque de \(\mathbb{G}^n_m(\overline \mathbb{Q})\)). Tandis qu’il résulte du résultat de Zhang que \(\widehat h(X)\geq \gamma''(n, d(X), [K: \mathbb{Q}])\) lorsque \(X\) n’est pas translatée d’un sous-groupe algébrique par un point de torsion.

MSC:
11G35 Varieties over global fields
14G99 Arithmetic problems in algebraic geometry; Diophantine geometry
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