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Uniform extendibility of the Bergman kernel. (English) Zbl 0849.32016
Ein beschränktes Gebiet \(\Omega \subset \mathbb{C}^n\) erfüllt die Bedingungen \(Q\), falls \(PC^\infty_0 (\Omega) \subset {\mathcal O} (\overline \Omega)\), d.h., falls der Bergman Projektor \(P\) für \(\varphi\in C^\infty_0(\Omega)\) eine auf \(\overline\Omega\) holomorphe Funktion \(P\varphi\) liefert. Vorliegende Arbeit beschreibt die Eigenschaft \(Q\) von \(\Omega\) durch die gleichmäßige Fortsetzbarkeit der Bergman’schen Kernfunktion \(K_\Omega\) [vgl. auch S. C. Chen, Math. Ann. 291, No. 3, 481-486 (1991; Zbl 0756.32008)]. Gezeigt wird unter anderem: \(\Omega\) besitzt genau dann die Eigenschaft \(Q\), wenn es für jedes Kompaktum \(K\subset\Omega\) eine offene Menge \(U_K\supset\overline\Omega\) gibt, so daß für jedes \(w\in K\) \(K_\Omega(\cdot,w)\) auf \(U_K\) holomorph ist und dann \(K_\Omega\) als Funktion beider Variablen auf \(U_K\times K\) stetig ist.
Als Anwendung wird das Verhalten der Ableitungen nach \(z\) von \(D^\beta_{\overline w}(K_\Omega(\cdot,w_0)\), \(w_0\in\Omega\), an einem Randpunkt \(z_0\in\partial\Omega\) untersucht, wenn \(\Omega\) der Bedingung \(Q\) genügt.

MSC:
32A25 Integral representations; canonical kernels (Szegő, Bergman, etc.)
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