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Drums that sound the same. (English) Zbl 0849.35084
Mark Kac hatte 1966 die berühmte Frage aufgeworfen: “Can one hear the shape of a drum?”, d.h. ob sämtliche Eigenwerte einer homogenen Membran (mit eingespanntem Rand) ihr Gebiet charakterisieren. Seit einigen Jahren sind – insbesondere von Gordon, Webb und Wolpert (1992) – manche Gegenbeispiele gegeben worden: Nicht-kongruente Membranen mit demselben Spektrum. Hier wird einerseits die Konstruktion solcher Beispiele wesentlich erweitert und mit einfachen Faltungen von Papierblättern veranschaulicht; wie hervorgehoben wird, haben auch die entsprechenden Membranen mit freiem Rand dasselbe Spektrum; andererseits wird an einem einfachen Spezialfall qualitativ hergeleitet, daß das Paar von Gebieten {Einheitsquadrat}\(\cup\){Dreieck mit Seiten 2; 2; \(2\sqrt 2\}\) dasselbe Spektrum hat wie das Paar {Rechteck mit Seiten 1 und 2}\(\cup\){Dreieck mit Seiten \(\sqrt 2\); \(\sqrt 2\); 2}, was explizit bestätigt wird.
Letzteres Beispiel dürfte nach Ansicht des Ref. auf weitere Vergleichsmethoden für das Spektrum sowie für andere Gebietsfunktionale hinweisen.
Reviewer: J.Hersch (Zürich)

MSC:
35P05 General topics in linear spectral theory for PDEs
35J05 Laplace operator, Helmholtz equation (reduced wave equation), Poisson equation
47A75 Eigenvalue problems for linear operators
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