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Galois structure and elliptic curves. (Structures galoisiennes et courbes elliptiques.) (French) Zbl 0852.11066

Les auteurs étudient la structure galoisienne des anneaux d’entiers des extensions \(N\) d’un corps de nombres \(K\) qui sont engendrées par les points de division rationnels sur \(K\) d’une courbe elliptique définie sur le corps \(K\).
Dans une première partie algébrique, ils rappellent la définition de l’invariant de Picard d’un espace homogène principal pour un ordre de Hopf, ce qui leur permet de traduire en termes géométriques les problèmes de structure galoisienne, et s’intéressent ensuite dans une seconde partie de nature arithmétique au cas des ordres de Hopf provenant des schémas en groupes associés aux courbes elliptiques. Pour les points d’ordre fini, les résultats de A. Srivastav et M. J. Taylor [Invent. Math. 99, 165-184 (1990; Zbl 0705.14031)] et de K. Bouklou [Arithmétique d’espaces homogènes principaux associés à une courbe elliptique, Thèse Bordeaux (1996)] montrent que l’invariant de Picard est généralement trivial. Pour le points d’ordre infini à invariant de Picard trivial, la théorie d’Iwasawa permet de montrer que les classes des espaces homogènes principaux libres sur l’ordre maximal proviennent du sous-groupe de Greenberg du groupe de Mordell-Weil complété. Les auteurs présentent alors leur résultat obtenu dans un travail sur la détermination de générateurs explicites de ces modules libres [Ann. Inst. Fourier 44, 631-661 (1994; Zbl 0810.11039)] et mettent plus particulièrement l’accent sur le rôle déterminant de la fonction \(L\) \(p\)-adique de la courbe et des unités elliptiques dans cette construction.

MSC:

11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
11G05 Elliptic curves over global fields
14L15 Group schemes
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML EMIS

References:

[1] Agboola, S.A. et Taylor, M.J., Class invariants of Mordell- Weil groups, à paraître. · Zbl 0799.11049
[2] Byott, S.N. et Taylor, M.J., Hopf structure and Galois modules, Group rings and class groups, DMV seminar 18 (1992), Birkhaüser. · Zbl 0811.11068
[3] Cassou-Noguès, Ph. et Srivastav, A., Galois module structure of Kummer 2-extensions and elliptic curves of rank ≽ 1, à paraître.
[4] Ph., Cassou-Noguès et Taylor, M.J., Espaces homogènes principaux, unités elliptiques et fonctions L, Ann. Inst.44 (1994), 631-661. · Zbl 0810.11039
[5] Fröhlich, A., Invariants for modules over commutative separable orders, Quart J. Math. Oxford216 (1965), 193-232. · Zbl 0192.14002
[6] Frôhlich, A., Artin root numbers and normal integral bases for quaternion fields, Invent. Math.17 (1972), 143-166. · Zbl 0261.12008
[7] Leopoldt, H.W., Uber die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlkörpers, J. reine angew Math.201 (1959), 119-149. · Zbl 0098.03403
[8] Lang, S., Cyclotomic fields, Graduate texts in Mathematics59, Springer-Verlag. · Zbl 0395.12005
[9] Milne, J., Etale cohomology, Princeton Univ. Press, New Jersey (1980). · Zbl 0433.14012
[10] Perrin-Riou, B., Arithmétique des courbes elliptiques et théorie d’Iwasawa, Mémoire de la S.M.F.17 (1984). · Zbl 0599.14020
[11] Rubin, K., p-adic L-functions and rational points on elliptic curves with complex multiplication, Invent. Math.107 (1992), 323-350. · Zbl 0770.11033
[12] Serre, J.P. et Tate, J., Good reduction of abelian varieties, Ann. of Math.68 (1968),492-517. · Zbl 0172.46101
[13] Srivastav, A. et Taylor, M.J., Elliptic curves with complex multiplication and Galois module structure, Invent. Math.99 (1990), 165-184. · Zbl 0705.14031
[14] Sweedler, M.E., Hopf algebras, W.A. Benjamin, New York (1969). · Zbl 0194.32901
[15] Taylor, M.J., On Fröhlich’s conjecture for rings of integers of tame extensions, Invent. Math.63 (1981), 41-79. · Zbl 0469.12003
[16] Taylor, M.J., Galois module structure of rings of integers in Kummer extensions, Bull. L.M.S.12 (1980), 96-98. · Zbl 0408.12017
[17] Waterhouse, W.C., Principal homogeneous spaces and Group scheme extensions, Trans. A.M.S. 153 (1971), 181-189. · Zbl 0208.48401
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