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Algebraic topology. A first course. (English) Zbl 0852.55001
Graduate Texts in Mathematics. 153. New York, NY: Springer. xviii, 430 p. (1995).
Comme son titre l’indique, il s’agit d’un premier cours: l’auteur a choisi une présentation la moins abstraite possible, insistant par exemple sur les revêtements provenant d’actions de groupes, n’introduisant la machinerie algébrique qu’au fur et à mesure de la rencontre de problèmes concrets en basse dimension.
Le but affiché est de présenter, au niveau élémentaire, la relation entre homologie et intégration, l’indice en un point d’un lacet, le degré d’une application, les théorèmes de point fixe ainsi que des applications comme le théorème de Jordan et l’invariance du domaine, l’indice d’un champ de vecteurs et la caractéristique d’Euler, le groupe fondamental et les revêtements, l’homologie et la cohomologie de de Rham, de Čech, les relations entre elles et avec le groupe fondamental; d’introduire également des méthodes de calcul comme les théorèmes de Mayer-Vietoris et de van Kampen.
Restant au niveau élémentaire dans la partie essentielle de l’ouvrage, l’auteur n’a considéré que les premiers exemples non triviaux de ces groupes de (co)homologie.
Les dernieres chapitres, s’adressant à un public plus averti, sont là pour permettre à un étudiant sérieux de voir où peut mener la théorie: théorème de Riemann-Roch pour les surfaces de Riemann, homologie et cohomologie en dimension supérieure et dualité de Poincaré.
Le but est atteint: le livre est de lecture agréable, malgré quelques rares fautes d’impression faciles à corriger. Il y a de nombreux problèmes et exercises avec une trentaine de pages de suggestions et réponses.

MSC:
55-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic topology
57M05 Fundamental group, presentations, free differential calculus
57N05 Topology of the Euclidean \(2\)-space, \(2\)-manifolds (MSC2010)
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