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The Newton polygon of a \({\mathcal D}_ X\)-module. (Le polygone de Newton d’un \({\mathcal D}_ X\)-module.) (French) Zbl 0853.58095

Campillo López, Antonio (ed.) et al., Algebraic geometry and singularities. Proceedings of the 3rd international conference on algebraic geometry held at La Rábida, Spain, December 9-14, 1991. Basel: Birkhäuser. Prog. Math. 134, 237-258 (1996).
From the introduction: “Dans cet exposé nous définissons l’analogue du polygone de Newton en un point singulier d’une équation différentielle pour un \({\mathcal D}_X\)-module holonome le long d’une hypersurface \(Y\).
Le polygone de Newton en un point singulier d’une équation différentielle se définit à l’aide des valuations \(x\)-adiques des coefficients de cette équation [voir J.-P. Ramis, ‘Théorèmes d’indices Gevrey pour les équations différentielles ordinaires”, Mem. Am. Math. Soc. 296 (1984; Zbl 0555.47020) and H. Komatsu in: Hyperfunctions pseudo-diff. Equations, Proc. Conf. Katata 1971, Lect. Notes Math. 287, 3-40 (1973; Zbl 0258.46040)]. A une variable le cas d’un système se ramène à celui d’une équation grâce, par exemple, au lemma du vecteur cyclique. A plusieurs variables le polygone de Newton d’un opérateur différentiel le long de \(\Lambda = T^*_Y X\) se définit à partir des valuations \({\mathcal I}_\Lambda\)-adiques des coefficients [Y. Laurent, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér. 20, 391–441 (1987; Zbl 0646.58021)]. Pour un système différentiel le polygone de Newton n’a plus de sens mais les pentes se définissent à partir des variétés micro-différentielles et qui sont des nombres rationnels.
A une variable on peut reconstituer, à translation près, le polygone de Newton en un point singulier d’une équation différentielle complexe à partir de la filtration Gevrey de l’espace d’irrégularité de cette équation en ce point singulier [voir les livres de J.-P. Ramis ou H. Komatsu cité haut].
A plusieurs variables on said définier le faisceau d’irrégularité \(\text{Irr}_Y ({\mathcal M})\) d’un \({\mathcal D}_X\)-module holonome \(\mathcal M\) le long d’une hypersurface \(Y\) muni de sa filtration Gevrey \(\text{Irr}^{(r)}_Y ({\mathcal M})\) indexée par les nombres réels \(r \geq 1\) [voir l’A. in: “The Grothendieck Festschrift, Vol. III, Prog. Math. 88, 83–132 (1990; Zbl 0731.14007)]. Nous démontrons [Y. Laurent et l’A., “Le polygône de Newton d’un \({\mathcal D}_X\)-module” (à paraître)] d’une part, le théorème de comparaison des pentes: les pentes transcendantes, les sauts de la filtration Gevrey, sont égales aux pentes algebriques définies par Y. Laurent dans son papier dans Ann. Sci. Éc. Norm. Super. (loc. cit.)], puis d’autre part le théorème d’integralité: la fonction constructible \((r - 1) (\chi (\text{Irr}^{(r + \varepsilon)}_Y ({\mathcal M})) - \chi (\text{Irr}^{(r - \varepsilon)}_Y ({\mathcal M})))\) à priori à valeurs entières. A partir du théorème de positivité de l’irrégularité et du théorème d’intégralité on peut alors définir le polygone de Newton de \(\mathcal M\) le long de chaque composante irréductible de la variété caractéristique du faisceau \(\text{Irr}_Y({\mathcal M})\). C’est un polygone du plan réel dont les sommets en nombre fini sont à coordonnées entières.
Le théorème d’integralité est bien sûr l’analogue en toutes dimensions du théorème d’intégralité de Hasse-Arf de la théorie de la ramification des corps locaux qui permet de mème de définir le polygone de Newton d’un module sur le groupe de Galois d’une extension finie d’un corps local [cf. N. M. Katz, Ann. J. Math. 105, 201–227 (1983; Zbl 0568.14012)]. Ceci est en conformité avec le “principe” de Deligne selon lequel il y a une analogie entre les propriétés de la ramification dite sauvage en caractéristique \(p > 0\) et les propriétés de la ramification dite sauvage en caractéristique \(p > 0\) et les propriétés de la ramification (l’irrégularité) en caractéristique zéro. On doit donc s’attendre à des résultats analogues pour la ramification en dimension supérieure aussi bien du point de vue \(l\)-adique que du point de vue \(p\)-adique.
Dans le cas \(p\)-adique, à une variable, on a une définition de l’irrégularité analogue à la définition complexe à l’aide de l’indice de P. Robba [Ann. Inst. Fourier 35, No. 2, 13–55 (1985; Zbl 0566.12017)] des opérateurs différentiels opérant sur l’espace de fonctions analytiques dans un disque ouvert. Mais pour l’instant le problème essentiel demeure de montrer l’existence de l’indice. On dispose d’un substitute de la filtration Gevrey par la filtration à l’aide de la croissance au bord du disque [P. Robba, Ann. Math. (2) 101, 280–316 (1975; Zbl 0316.12102)].
Comme conséquence du théorème de comparaison des pentes on énonce dans le paragraphe 7 une conjecture purement algébrique qui implique l’équivalence entre la nullité du faisceau d’irrégularité, condition générique de la régularité, et l’existence d’une équation fonctionnelle régulière, condition algébrique forte de la régularité”. C’est une illustration du fait qu’il est plus simple et plus naturel de déduire les propriétés de la régularité à partir des propriétés de l’irregularité.
For the entire collection see [Zbl 0832.00033].
Reviewer: R. Salvi (Milano)

MSC:

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