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Hyperbolicity of the complement of a generic smooth curve of high degree in the complex projective plane. (English) Zbl 0856.32017
Die vorliegende Arbeit stellt den bislang größten Fortschritt in Richtung auf die folgende Vermutung dar: Sei \(k \in \mathbb{N}\) und \(C\) eine generische algebraische Kurve des \(\mathbb{P}_2\) mit \(k\) irreduziblen Komponenten und vom Grad \(\geq 5\); dann ist jede holomorphe Funktion \(\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{P}_2 - C\) konstant. Durch Arbeiten von Green, Grauert, Dethloff-Schumacher-Wong ist die Vermutung in einer Reihe von speziellen Fällen bestätigt; hier wird nun der (merkwürdigerweise schwierigste) Fall behandelt, daß \(C\) glatt und irreduzibel ist – also mit \(k = 1\)-, allerdings für sehr hohen Grad.
Trotz aller technischen Schwierigkeit ist der umfangreiche Beweis klar strukturiert und durchsichtig aufgeschrieben. Unter der Annahme der Existenz einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung \(\varphi\) wird diese in eine Überlagerung von \(\mathbb{P}_2\) geliftet, die in \(C\) verzweigt ist. Über eine aufwendige Konstruktion von zwei zugehörigen linear unabhängigen 2-Jet-Differentialen und einigen Verallgemeinerungen des Schwartzschen Lemmas zeigen die Autoren, daß \(\varphi\) algebraisch entartet, d.h. daß das Bild in einer algebraischen Kurve liegt. Diese Kurve schneidet generische \(C\) in mehr als zwei Punkten. Wenn \(\varphi\) nicht konstant ist, muß die Bildkurve das Geschlecht 0 haben, womit der Beweis letztlich auf den Picardschen Satz zurückgeführt ist.

MSC:
32H25 Picard-type theorems and generalizations for several complex variables
32Q45 Hyperbolic and Kobayashi hyperbolic manifolds
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