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A relationship between Poincaré-type inequalities and representation formulas in spaces of homogeneous type. (English) Zbl 0856.43006
Dans un article antérieur [Ann. Inst. Fourier 45, 577-604 (1995; Zbl 0820.46026)], les mêmes auteurs se donnaient sur \(\mathbb{R}^N\) des champs de vecteurs \(X_1,\dots, X_m\) possédant la propriété de Hörmander; avec les notations \(\rho\) pour la métrique associée et \(B(x, r)= \{y\in \mathbb{R}^N: \rho(x, y)< r\}\), ils établissaient une “formule de représentation” valable pour toute \(B_0= B(0, r)\): \[ |f(x)- f_{B_0}|\leq C(\tau)\int_{\tau B_0} |Xf(y)|{\rho(x, y)dy\over \lambda[B(x, \rho(x, y))]},\tag{1} \] où \(\tau> 1\) est donné, \(f_{B_0}\) est la moyenne de \(f\) sur \(B_0\) pour la mesure de Lebesgue \(\lambda\), et \(|Xf|^2= \sum^m_{j= 1} |X_j f|^2\); leur démonstration recourait aux méthodes de L. Preiss Rothschild et E. M. Stein [Acta Math. 137, 247-320 (1976; Zbl 0346.35030)].
Ils montrent maintenant l’équivalence entre (1) et l’inégalité de Poincaré, qui permet d’obtenir (1) d’une façon beaucoup plus simple, et cela dans un cadre plus général, où \(\mathbb{R}^N\) est remplacé par un espace homogène, \(\rho\) devient une quasi-métrique, i.e. \(\rho(x, y)\leq K[\rho(x, z)+ \rho(y, z)]\), la moyenne \(f_{B_0}\) est relative à une mesure \(\nu\), l’intégrale au \(2^e\) membre de (1) porte sur \(\tau KB_0\), enfin la mesure de Lebesgue \(\lambda\) est remplacée par une autre mesure \(\mu\), \(\mu\) et \(\nu\) ayant l’une et l’autre la propriété de doublement.

MSC:
43A85 Harmonic analysis on homogeneous spaces
26D15 Inequalities for sums, series and integrals
26A12 Rate of growth of functions, orders of infinity, slowly varying functions
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