Proper holomorphic maps in dimension 2 extend. (English) Zbl 0857.32015

Diederich, Klas; Pinchuk, Sergey

Indiana Univ. Math. J. 44, No. 4, 1089-1126 (1995).

Vorliegende Arbeit gibt in Dimension \(n=2\) eine positive Antwort auf folgende alte Frage: Ist eine eigentliche holomorphe Abbildung \(f:D\to D'\) zwischen Gebieten \(D\), \(D' \subset \mathbb{C}^n\) mit glatten, reell-analytischen Rändern holomorph auf eine Umgebung von \(\overline D\) fortsetzbar.
Anders als im pseudokonvexen Fall werden hier die sogenannten Segre-Varietäten zum Beweis ausgenutzt. Zuerst wird gezeigt, daß sich \(f\) lokal als eigentliche holomorphe Korrespondenz über \(\overline D\) hinaus fortsetzen läßt. Der Beweis obiger Aussage folgt dann mit folgendem Ergebnis: Ist \(f:D \to D'\) als eigentliche holomorphe Korrespondenz in eine Umgebung eines Randpunktes \(a\in \partial D\) fortsetzbar, so ist \(f\) selbst als holomorphe Abbildung über \(a\) hinaus fortsetzbar.
Der hier gegebene Beweis benutzt nicht das von vom 1. Autor, J. E. Fornaess und Z. Ye [J. Geom. Anal. 4, No. 4, 539-552 (1994)] gefundene schwächere Resultat, wo vorausgesetzt wurde, daß \(f\) biholomorph ist und sich zu einem Homeomorphismus auf \(\overline D\) fortsetzen läßt.

Reviewer: P.Pflug (Oldenburg)

MSC:

32H40	Boundary regularity of mappings in several complex variables
32H35	Proper holomorphic mappings, finiteness theorems

Keywords:

dimension 2; holomorphic extension; proper holomorphic map; Segre variety