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A course in abstract harmonic analysis. (English) Zbl 0857.43001
Studies in Advanced Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press. viii, 276 p. (1995).
Die klassische Theorie der abstrakten Harmonischen Analyse darf seit einigen Jahrzehnten als ausgereift gelten. In der jüngeren (eher forschungsorientierten) Literatur zur Harmonischen Analyse gibt es jedoch kaum eine schlanke systematische Einführung in die Grundlagen der Theorie. Die klassischen Gegenstände der abstrakten Harmonischen Analyse finden sich nun im vorliegenden ausgezeichneten Buch sorgfältig und wohlorganisiert zusammengefaßt. Fortgeschrittene Studenten und auch Spezialisten werden dem Autor dankbar sein für die klare stromlinienförmige und doch bemerkenswert vollständige Darstellung. Der Stoff ist übersichtlich gegliedert und wird stets an den wichtigsten Beispielen veranschaulicht. Der Leser wird jeweils zügig und auf bequemem Weg zum Kern der Probleme geführt. Der Autor wählt die Bezeichnungen mit Bedacht und orientiert sich nach Möglichkeit an den Standard-Notationen.
Hier nun eine kurze Beschreibung des Inhalts: Gegenstand von Kapitel 1 sind die Banach-Algebren, insbesondere die Gel’fand-Theorie und die Spektraltheorie. Der Autor gibt eine interessante Formulierung des endlich-dimensionalen Spektralsatzes, die sogleich die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf die unendlich-dimensionale Situation eröffnet. Gegenstand von Kapitel 2 sind die lokal-kompakten Gruppen, das Haar-Maß und die Modularfunktion sowie die Frage der Existenz invarianter bzw. quasi-invarianter Maße auf homogenen Räumen. In Kapitel 3 werden die unitären Darstellungen und deren Beziehung zu den positiv definiten Funktionen behandelt. (Der Autor verwendet hier die aus dem französischen Sprachgebrauch stammende Bezeichnung “Funktionen von positivem Typ”.) In Kapitel 4 wird die Dualitätstheorie lokal-kompakter Abelscher Gruppen entwickelt. Der zentrale Begriff ist natürlich die Fourier-Transformation. Weiterhin werden Spektralsynthese und Wiener-Tauber-Sätze behandelt. Kapitel 5 gilt dem Studium der Darstellungstheorie kompakter Gruppen. Für die Gruppen \(SU(2)\), \(SO(3)\) und \(U(2)\) werden die irreduziblen Darstellungen explizit bestimmt. Gegenstand von Kapitel 6 sind die induzierten Darstellungen. Es werden verschiedene Zugänge vorgestellt und ihre Beziehungen zueinander diskutiert. Der Satz über die Induktion in Schritten wird unmittelbar aus der von Blattner eingeführten Realisierung induzierter Darstellungen durch positiv definite Maße gewonnen. (Die positiv definiten Maße nennt der Autor “Pseudomaße von positivem Typ”.) Es wird Mackey’s Imprimitivitätstheorem bewiesen sowie Mackey’s Methode diskutiert, das Studium der Darstellungen einer Gruppe \(G\) mit einem abgeschlossenen Normalteiler \(N\) auf das Studium der Darstellungen von \(N\) und verschiedener Untergruppen von \(G/N\) zu reduzieren. Als Beispiele dienen die \((az+b)\)-Gruppe, die Euklidische Bewegungsgruppe, die Poincaré-Gruppe, die Heisenberg-Gruppe und die Mautner-Gruppe. Das Kapitel 7 gibt eine Übersicht über die Darstellungstheorie und insbesondere über das Studium des unitären Duals \(\widehat G\) einer nicht-kompakten nicht-Abelschen Gruppe \(G\). Als Beispiele werden die Heisenberg-Gruppe, die \((ax+b)\)-Gruppe, die Gruppe \(SL(2, \mathbb{R})\) sowie die freie Gruppe in zwei Erzeugenden behandelt.
Das Buch kann von fortgeschrittenen Studenten mit guten Kenntnissen in Funktionalanalysis im wesentlichen unabhängig von weiterer Literatur studiert werden. (Einige Begriffe werden im Anhang erläutert.) Am Ende der einzelnen Kapitel finden sich jeweils historische Anmerkungen, die neben Quellenhinweisen auch substantielle Ergänzungen enthalten. Aufgrund der gelungenen Stoffauswahl und der klaren systematischen Darstellung wäre dem Buch die Rolle eines Standard-Werkes zur abstrakten Harmonischen Analyse durchaus zu wünschen. Die Freude an der Schönheit des Gebietes wird durch das Buch sicherlich gefördert.

MSC:
43-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to abstract harmonic analysis
22-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to topological groups
22D10 Unitary representations of locally compact groups
22D30 Induced representations for locally compact groups
43A35 Positive definite functions on groups, semigroups, etc.
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