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Additive number theory. The classical bases. (English) Zbl 0859.11002
Graduate Texts in Mathematics. 164. New York, NY: Springer. xiv, 342 p. (1996).
In den letzten Jahren wurden in der additiven Zahlentheorie viele interessante und schöne Ergebnisse erzielt; diese finden sich zum großen Teil aber nur verstreut in der Literatur. Es ist daher ein großer Verdienst des Verfassers, in diesem Buch solche Resultate zusammenzustellen und gut gegliederte Beweise zu liefern. In diesem Band werden klassische Fragen der additiven Zahlentheorie behandelt.
Eine Menge \(A\subseteq\mathbb N_0\) heißt bekanntlich Basis der Ordnung \(h\) für eine Menge \(M\subseteq\mathbb N_0\), wenn sich jedes Element aus \(M\) als Summe von \(h\) nicht notwendig verschiedenen Elementen aus \(A\) darstellen läßt. Der klassische Satz von Lagrange sagt dann aus, daß die Menge der Quadratzahlen eine Basis vierter Ordnung für \(\mathbb N_0\) ist. Weitere bekannte klassische Fragen sind das Waringsche Problem und die Goldbachsche Vermutung. Diese beiden Fragen bilden den Hauptgegenstand dieses Buches. In einem Anhang (Teil III) finden sich einige Grundlagen, die in den Beweisen benutzt werden. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis am Ende des Buches sowie Hinweise am Schluß der einzelnen Kapitel geben dem Leser die Möglichkeit, die zitierte Originalliteratur aufzufinden.
Zunächst werden Summen von Polygonalzahlen behandelt, und als Spezialfall geht der Verfasser auf Summen von Quadratzahlen ein (Sätze von Lagrange, Gauß und Choi-Erdös-Nathanson).
Das Waringsche Problem, dem der erste Hauptteil des Buches gewidmet ist, sagt, daß für alle \(k\geq 2\) die Menge der \(k\)-ten Potenzen der nichtnegativen ganzen Zahlen eine Basis einer endlichen Ordnung \(h\) für \(\mathbb N_0\) ist. Zunächst werden Summen von Kuben betrachtet und dann wird der Beweis für beliebiges \(k\) ausgeführt. Die Hardy-Littlewoodsche Formel für die Darstellungsanzahl beim Waringschen Problem bildet den Abschluß dieses ersten Teils.
Der zweite Hauptteil des Buches bringt zunächst einige Sätze über die Folge der Primzahlen. Unter Benutzung des Siebs von Selberg wird dann der Satz von Schnirelmann bewiesen, daß die Menge der Primzahlen eine Basis endlicher Ordnung für die Menge der geraden Zahlen \(>2\) ist. Es schließt sich der Beweis des Satzes von Vinogradov an, daß die Menge der Primzahlen eine asymptotische Basis dritter Ordnung für die Menge der ungeraden Zahlen ist.
Den Abschluß bildet der Beweis des Satzes von Chen, daß jede genügend große gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl, die Produkt von höchstens zwei Primzahlen ist, geschrieben werden kann.
Es ist dem Verfasser gelungen, ein äußerst klar und anregend geschriebenes Buch über Höhepunkte der additiven Zahlentheorie vorzulegen, das sowohl für Kenner der Materie sehr informativ, als auch für Studenten in höheren Semestern, die sich mit diesen Fragen befassen, zur Lektüre wärmstens zu empfehlen ist.

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11P05 Waring’s problem and variants
11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
11P55 Applications of the Hardy-Littlewood method
11Pxx Additive number theory; partitions
11B05 Density, gaps, topology
11B13 Additive bases, including sumsets
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