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Additive number theory. Inverse problems and the geometry of sumsets. (English) Zbl 0859.11003
Graduate Texts in Mathematics. 165. New York, NY: Springer. xiv, 293 p. (1996).
Dieser Band ist unabhängig von dem ersten Band [vgl. das vorhergehende Referat Zbl 0859.11002] (Klassische Fragen der additiven Zahlentheorie). Während in diesem direkte Probleme behandelt werden, ist der zweite Band der Untersuchung inverser Probleme gewidmet. Gegeben ist nun eine Summenmenge \(hA\), und es wird nach Aussagen über die Menge \(A\) gefragt. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, daß \(A\) eine endliche Menge ist. Freiman, Kneser, Nathanson, Plünnecke und Ruzsa erzielten wichtige Resultate bei inversen Problemen. Die Höhepunkte des Buches sind u.a. die Sätze von Cauchy-Davenport, Erdős-Ginzburg-Ziv, Erdős-Heilbronn, Freiman-Vosper, Kneser, Plünnecke und Ruzsa. Der Text ist so geschrieben, daß nur Kenntnisse in elementarer Zahlentheorie, Algebra und Analysis nötig sind.
In Verallgemeinerung der Addition von Mengen ganzer Zahlen wird die Summe von endlichen Teilmengen \(A\) und \(B\) einer abelschen Gruppe \(G\) eingeführt als die Menge aller Elemente von \(G\), die in der Form \(a+b\) mit \(a\in A\) und \(b\in B\) dargestellt werden können. Das einfachste inverse Problem besteht darin, die Paare \((A,B)\) von endlichen Teilmengen \(A,B\subset G\) zu charakterisieren, so daß \(A+B\neq G\) und \(|A+B|< |A|+ |B |\) gilt. Für den Fall \(G= \mathbb Z/p \mathbb Z\) \((p\) Primzahl) wurde dieses Problem von Vosper vollständig gelöst; der Beweis ist der Inhalt von Kapitel 2.5.
Weitere zentrale Themen des Buches sind der Knesersche Satz über Summen von endlichen Teilmengen einer abelschen Gruppe \(G\), Summen von Vektoren im euklidischen Raum \(\mathbb R^n\), die Sätze von Minkowski, Plünnecke-Graphen und Plünneckes Ungleichung mit einer Anwendung auf inverse Probleme und das Theorem von Freiman.
Am Schluß eines jeden Abschnitts findet der Leser historische Bemerkungen, Literaturhinweise und Hinweise auf offene Fragen sowie Übungsaufgaben. Ein ausführliches zusammengefaßtes Literaturverzeichnis wird am Schluß des Buches angegeben.

MSC:
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11P70 Inverse problems of additive number theory, including sumsets
11Bxx Sequences and sets
11B13 Additive bases, including sumsets
11B83 Special sequences and polynomials
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