Rational points on compact subgroups of algebraic groups. (Points rationnels sur les sous-groupes compacts des groupes algébriques.) (French) Zbl 0859.11046

Bertrand, Daniel

Exp. Math. 4, No. 2, 145-151 (1995).

Soit \(G\) un groupe algébrique commutatif défini sur un corps de nombres \(K \subset \mathbb{R}\), une question naturelle est de chercher une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sous-groupe de type fini \(\Gamma\) de \(G(K)\) soit dense dans \(G(\mathbb{R})\) (ou tout au moins, pour que \(\Gamma \cap G(\mathbb{R})^+\) soit dense dans \(G(\mathbb{R})^+\), où \(G(\mathbb{R})^+\) désigne la composante neutre du groupe de Lie \(G(\mathbb{R}))\).
Une telle condition (toujours nécessaire) a été proposée par M. Waldschmidt [Exp. Math. 3, No. 4, 329-352 (1994; Zbl 0837.11040)] qui montre qu’elle convient très probablement pour un certain nombre de groupes algébriques \(G\). L’auteur montre qu’elle n’est néanmoins pas suffisante pour des extensions non-isotriviales de variétés abéliennes par le groupe multiplicatif. Plus précisément, si la variété abélienne est munie d’une polarisation, définie et simple sur \(K\), admettant un \(K\)-endomorphisme non invariant sous l’involution de Rosati attachée à la polarisation et de rang \(>0\), l’auteur en exhibe une extension \(G\) par le groupe multiplicatif et des points \(K\)-rationnels d’ordre infini, appartenant au sous-groupe compact maximal de \(G(\mathbb{R})\). Le sous-groupe \(\Gamma\) engendré par un tel point et un point d’ordre infini de \({\mathbf G}_m (\mathbb{R})^+\) n’est pas dense dans \(G(\mathbb{R})^+\) tandis qu’il remplit la condition proposée. La construction effective de surfaces abéliennes polarisées remplissant les conditions ci-dessus fait intervenir la théorie des formes modulaires, une construction de G. Shimura et l’existence de \(\mathbb{Q}\)-courbes elliptiques au sens de K. Ribet. En revanche, dans le cas des extensions de variétés abéliennes par des puissances du groupe additif la condition est probablement suffisante.
La propriété de densité étudiée est aussi reliée à plusieurs conjectures d’indépendance algébrique de logarithmes de points algébriques des groupes considérés et en particulier à de multiples analogues du célèbre problème des quatre exponentielles.

Reviewer: P.Philippon (Paris)

MSC:

11J85	Algebraic independence; Gel’fond’s method
14G05	Rational points
11G10	Abelian varieties of dimension \(> 1\)

Keywords:

compact subgroups of algebraic groups; abelian varieties; density; rational points; modular forms; algebraic independence of logarithms points

Citations:

Zbl 0837.11040

References:

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