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Duality formulas on the Poisson space. (Formules de dualité sur l’espace de Poisson.) (French) Zbl 0859.60045
Un espace \(H\) des variables aléatoires de carré intégrable sur l’espace de Wiener peut se décomposer en une somme hilbertienne de chaos, et les opérateurs de gradient et de divergence opérent de façon simple sur les chaos. La formule d’intégration par parties de l’espace de Wiener est transportée sur l’espace de Poisson, où elle est considérée comme une conséquence d’une formule d’isométrie. Une mesure aléatoire \(\lambda^+\) sur \(R_+\) de loi de Poisson d’intensité \(\lambda^-\) vérifie la propriété \(E\int Z_td\lambda^+(t)=E\int Z_td\lambda^-(t)\) pour tout processus prévisible positif \(Z\). Il est vérifié que cette formule est aussi satisfaite par les processus \(Z\) anticipants, pourvu que \(Z_t\) ne dépende pas de la présence d’un saut de \(\lambda^+\) en \(t\). Cette propriété permet en fait de caractériser la loi de Poisson et est à la base de tous les résultats obtenu.
Sont abordées diverses applications: changements de probabilité obtenues en ajoutant ou retrachant des masses à la mesure de Poisson; étude d’une notion de mesure de Gibbs et lien avec les mesures réversibles pour l’évolution d’un système de particules en interaction. Enfin, est calculée la mesure invariante dans un cas particulier au moyen d’un calcul sur les chaos. À chaque étape l’auteur précise les propriétés analogues valables sur l’espace de Wiener.
Reviewer: G.Orman (Braşov)

MSC:
60G57 Random measures
60J75 Jump processes (MSC2010)
60H07 Stochastic calculus of variations and the Malliavin calculus
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Full Text: Numdam EuDML