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An introduction to the geometry of numbers. (English) Zbl 0086.26203
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 99. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. viii, 344 p. (1959).
Seit den klassischen Werken von Minkowski ist das hier vorliegende Werk das erste Lehrbuch der Geometrie der Zahlen. Verf. hat selbst Bedeutendes zu diesem Gebiet beigetragen. Nun eine kurze Inhaltsübersicht:
Ch. I: Lattices – enthält die grundlegenden Sätze über Gitter.
Ch. II: Reduction – enthält die Reduktionstheorie der positiv definiten Formen, angewendet auf die Theorie der quadratischen Formen. Es wird bei den binären und ternären quadratischen Formen, sowohl definit wie indefinit, das erste Minimum bestimmt (im binären Fall werden auch einseitige Probleme behandelt), ebenso bei den binären kubischen Formen mit positiver Diskriminante nach Davenport und Chalk. Für negative Diskriminante wird nur eine Beweisskizze gegeben, die dann im 3. Kapitel ergänzt wird.
Ch. III: Theorems of Blichfeldt and Minkowski. Es werden hier auch die Verallgemeinerungen von Siegel und R. Rado behandelt, die Gitterkonstante einer Menge (in der Literatur auch Determinante einer Menge genannt) eingeführt und nach einer Mitteilung von Mahler die Gitterkonstante \(\Delta\) eines Simplex bestimmt. Dann wird die Methode von Mordell behandelt, um \(\Delta\) in gewissen Fällen zu bestimmen (das ist wohl die beste Darstellung dieser Methode), zunächst an zwei einfachen Fällen dargestellt und dann auf die binären kubischen Formen mit negativer Diskriminante angewendet. Am Schluß dieses Kapitels wird gezeigt, wie die Geometrie der Zahlen zum Beweis klassischer Sätze der Zahlentheorie verwendet werden kann.
Ch. IV: Distance functions. Hier wird die Theorie der Sternkörper entwickelt, konvexe Körper und ihre Polarkörper werden eingeführt und die zugehörigen Sätze von Mahler entwickelt.
Ch. V: Mahler’s compactness theorem. Der Beweis dieses Satzes wird nach Chabauty geführt, kritische Gitter werden eingeführt und insbesondere beschränkte Sternkörper in Betracht gezogen und gezeigt, daß die Bestimmung des zugehörigen \(\Delta\) auf eine endliche Menge von gewöhnlichen Minimalproblemen zurückgeführt werden kann. Die Theorie der reduziblen Sternkörper wird am Kreis erläutert. Dann wird für konvexe Körper der Satz von Swinnerton-Dyer gebracht und die Kugel für \(n=3\) behandelt. Den Abschluß bildet in Anwendung von diophantischen Approximationen der Satz von Davenport, welcher einen Satz von Furtwängler vertieft.
Ch. VI: The theorem of Minkowski-Hlawka. Hier wird unter anderem die Verschärfung des Satzes von W. Schmidt und der Beweis einer Vermutung von Rogers, welcher vom Verf. herrührt, gebracht. Im Fall der Ebene wird ein allgemeines Kriterium dafür gebracht, daß ein Sternbereich von endlichem Typus ist.
Ch. VII: The quotient space. Hier wird der Summensatz von Macbeath, der ein Analogon des Satzes von H. B. Mann darstellt, bewiesen.
Ch. VIII: Successive minimas – bringt die Sätze von Rogers und Chabauty, von Minkowski und den Übertragungssatz von Mahler bei polaren Körpern.
Ch. IX: Packings – enthält die Theorie der Wabenzellen und im Fall der Ebene die Sätze von Fejes Tóth und Rogers und die Bestimmung der Gitterkonstanten für konvexe Zylinder. Den Abschluß bildet die Abschätzung der Gitterkonstanten für Kugeln und Produkt von Linearformen nach Blichfeldt.
Ch. X: Automorphs – bespricht die Isolierungsmethode, Sätze von Mordell, welche die Bestimmung der Gitterkonstanten von \(n\)-dimensionalem Bereiche auf \(n-1\)-dimensionale Probleme zurückführen, zerlegbare ternäre kubische Formen und die Sätze von Davenport und Rogers über die Existenz von unendlich vielen Gitterpunkten in Sternkörpern.
Ch. XI: Inhomogeneous problems – enthält die Übertragungssätze, Produkt von Linearformen und die Sätze von Minkowski und Remak. Dabei wird auf den Algorithmus der geteilten Zelle von Delaunay eingegangen.
Die Darstellung ist sehr klar und durchsichtig. Hervorzuheben sind die zahlreichen Literaturangaben und die Fülle von originellen Beweisführungen.

MSC:
11Hxx Geometry of numbers
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
52Cxx Discrete geometry
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