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Homogeneous spaces and arithmetic of reductive group schemes over Dedekind rings. (Espaces homogènes et arithmétique des schémas en groupes réductifs sur les anneaux de Dedekind.) (French) Zbl 0862.14033

Summary: Soit \(S\) un schéma arithmétique de dimension 1, c’est-à-dire le spectre de l’anneau des entiers d’un corps de nombres ou une courbe algébrique, lisse, irréductible, définie sur un corps fini ou algébriquement clos. Nous associons à un \(S\)-espace homogène (à gauche) \(X\) d’un groupe réductif \(G\) dont l’isotropie est aussi un groupe réductif \(H\) une classe caractéristique qui, dans le case où \(H\) est semi-simple, vit dans un \(H^3\) de \(S\) à valeurs dans le noyau du revêtement universal d’une \(S\)-forme de \(H\). Cette classe constitue une obstruction au relèvement de \(X\) en un \(G\)-torseur et, sous certaines hypothèses, une obstruction à l’existence d’un point \(S\)-rationnel dans \(X\). Applications à l’existence de tels points dans les \(S\)-espaces homogènes.

MSC:

14M17 Homogeneous spaces and generalizations
18G50 Nonabelian homological algebra (category-theoretic aspects)
14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients)
55R40 Homology of classifying spaces and characteristic classes in algebraic topology
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Full Text: DOI Numdam EuDML EMIS

References:

[1] Borovoi, M.V., Abelianization of the second non abelian Galois cohomology, Preprint, MPI/91-92, Max Planck Institut für Math., Bonn, 1991.
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[3] Douai, J.-C., Cohomologie des schémas en groupes semi-simples sur les anneaux de Dedekind...., C.R. Acad. Sc. Paris, t. 285 (19 sept. 1977), Série A, 325-328. · Zbl 0367.14018
[4] Douai, J.-C., Cohomologie des schémas en groupes sur les courbes définies sur les corps quasi-finis...., Journal of Algebra103, n°1 (1986), 273-284. · Zbl 0604.14034
[5] Giraud, J., Cohomologie non abélienne, Grundlehren der mathematischen wissenchaften in Eingeldarstellungen 179, Springer-Verlag1971. · Zbl 0226.14011
[6] Harder, G., Halbeinfache Gruppenschemata über Dedekindringen, Inv. Math.4 (1967), 165-191. · Zbl 0158.39502
[7] Nisnevitch, Y.A., Espaces homogènes principaux rationnellement triviaux et arthmétique des schémas en groupes réductifs sur les anneaux de Dedekind, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 299, Série I, n° 1, (1984) 5-8. · Zbl 0587.14033
[8] Springer, T.A., Non abelian H2 in Galois cohomology in Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups, Proc. Sympos. Pure Math 9, Amer. Math. Soc., Providence, (1966) 164-182.
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