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Iwasawa theory of modular elliptic curves of analytic rank at most 1. (English) Zbl 0864.11053
Les auteurs développent de façon approfondie les conséquences d’un résultat de Kolyvagin pour la théorie d’Iwasawa des courbes elliptiques sur \(\mathbb{Q}\) dont le rang analytique est au plus 1.
Plus précisément, si \(E\) est une courbe elliptique modulaire définie sur \(\mathbb{Q}\) et \(r_E\) la multiplicité du zéro en \(s=1\) de la fonction \(L(E,s)\) de Hasse-Weil attachée à \(E\), V. Kolyvagin a prouvé que lorsque \(r_E\) est au plus 1, le rang algébrique du groupe \(E(\mathbb{Q})\) des points rationnels sur \(\mathbb{Q}\) coïncide avec \(r_E\) et que le groupe de Tate-Shafarevich \(\text{ Ш} (E)\) sur \(\mathbb{Q}\) est fini [Grothendieck Festschrift, Vol. II, Prog. Math. 87, 435-483 (1990; Zbl 0742.14017)]. Soit alors \(p\) un nombre premier impair, \(E_{p^\infty} =\cup E_{p^m}\) l’ensemble des points de \(p^m\)-division de la courbe, \(F_\infty= \cup F_n\) la \(\mathbb{Z}_p\)-extension cyclotomique de \(\mathbb{Q}\), \(\Gamma= \text{Gal} (F_\infty/ \mathbb{Q})= \gamma^{\mathbb{Z}_p}\) son groupe de Galois, \(\Lambda= \mathbb{Z}_p[[r-1]]\) l’algèbre d’Iwasawa associée, \(S\) un ensemble fini de nombres premiers contenant \(p\) et ceux de mauvaise réduction, \(\mathbb{Q}_{\infty,S}\) la pro-extension réelle \(S\)-ramifiée maximale de \(\mathbb{Q}\), et \(G_{\infty,S} =\text{Gal} (\mathbb{Q}_{\infty,S}/F_\infty)\). Sous la condition \(r_E\leq 1\), les auteurs montrent successivement:
– théorème 1: \(H^2(G_{\infty,S}, E_{p^\infty}) = 0\);
– théorème 2: le dual de Pontryagin \(X_{\infty,S}\) du groupe \(H^1(G_{\infty,S}, E_{p^\infty })\) est un \(\Lambda\)-module de rang 1 qui n’a pas de sous-module fini non nul;
– théorème 3: le dual de Pontryagin \(Y_\infty\) du groupe \[ {\mathcal S} (F_\infty) =\text{Ker } (H^1 (G_{\infty,S}, E_{p^\infty}) \mapsto \bigoplus_{v\mid S\backslash \{p\}}H^1(F_{\infty,v}, E)(p)) \] est un \(\Lambda\)-module de rang 1 sans sous-module fini non nul;
– théorème 4: pour chaques \(m\) et \(n\) soit \[ \sum(E/F_n; p^m)= \text{Ker }(H^1(F_n, E_{p^m}) \mapsto \bigoplus_v H^1(F_{n,v}, E)(p)) \] le groupe de Selmer relatif à \(p^m\), puis \(R(E/F_n,p^m)\) le sous-groupe des éléments d’image nulle dans \(H^1(F_{n,p}, E_{p^m})\) et \(R(E/F_n)= \varprojlim R(E/F_n, p^m)\); il vient alors \(\varprojlim R(E/F_n)=0\).
Enfin, dans la seconde partie de leur travail, les auteurs prouvent une curieuse formule explicite reliant les divers invariants (algébriques ou analytiques) de la courbe, qui traduit les liens profonds entre les modules d’Iwasawa \(X_{\infty, S}\) et \(Y_\infty\) (pour chaque \(p)\) et les fonctions \(L(E,s)\) complexes (théorème 5). De nombreux exemples numériques viennent illustrer les résultats obtenus.

MSC:
11R23 Iwasawa theory
11G05 Elliptic curves over global fields
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