×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the Iwasawa theory of CM elliptic curves at supersingular primes. (English) Zbl 0864.11054
L’auteur établit la conjecture de Schneider-Greenberg \(H^2(G_{\infty, \Sigma}, E_{p^\infty})=0\) pour les courbes elliptiques dans le cas particulier où \(E\) est une courbe elliptique définie sur un corps quadratique imaginaire \(K\) à multiplication complexe par l’anneau des entiers \({\mathcal O}_K\), et où le premier \({\mathfrak p}\) de \({\mathcal O}_K\) au-dessus de \(p\) a bonne réduction supersingulière et ne divise pas le nombre \(w_K\) de racines de l’unité de \(K\) (ce qui exclut \(p=2\), et \(p=3\) pour \(K=\mathbb{Q} [\sqrt{-3}])\).
Dans la formule précédente, \(E_{p^\infty} = \cup E_{p^m}\) est la réunion des sous-groupes de \(p^m\)-torsion de \(E\) pour un premier impair donné \(p\); et \(G_{\infty,\Sigma}\) est le groupe de Galois \(\text{Gal} (K_\Sigma/K^c_\infty)\), où \(K^c_\infty\) est la \(\mathbb{Z}_p\)-extension cyclotomique de \(K\) et \(K_\Sigma\) la pro-extension maximale de \(K\) qui est non ramifiée en dehors d’un ensemble fini \(\Sigma\) de places de \(K\) contenant les places au-dessus de \(p\) ainsi que celles de mauvaise réduction.
Pour \(K=\mathbb{Q}\) la conjecture précédente a été vérifiée à l’aide d’un résultat de Kolyvagin par J. Coates et l’auteur dans le cas où \(E\) est modulaire et de rang analytique \(r_E\leq 1\) [J. Lond. Math. Soc., II Ser. 50, No. 2, 243-264 (1994; Zbl 0864.11053)]. Lorsque \(K\) est quadratique imaginaire et \(E\) à multiplication complexe, elle a également été vérifiée par K. Rubin pour les premiers impairs de bonne réduction ordinaire [Invent. Math. 93, 701-713 (1988; Zbl 0673.12004)]. La preuve de l’auteur dans le cas supersingulier considéré ici s’appuie sur un résultat analytique de Rohrlich et Greenberg sur les valeurs spéciales des fonctions \(L\) modulaires tordues. Le point essentiel est l’analogue supersingulier dû à Rubin du résultat principal de Coates-Wiles qui permet de translater le problème en termes d’unités elliptiques.

MSC:
11R23 Iwasawa theory
11G05 Elliptic curves over global fields
14H52 Elliptic curves
11G15 Complex multiplication and moduli of abelian varieties
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Numdam EuDML
References:
[1] Billot, P. : Quelques aspects de la descente sur une courbe elliptique dans le cas de réduction supersingulière , Compos. Math. 58 (1986), 341-369. · Zbl 0604.14017
[2] Bourbaki, N. : Commutative Algebra . Hermann, Paris 1972.
[3] Cassels, J.W.S. : Arithmetic on curves of genus 1, IV , J. Reine und Angew. Math., 207 (1962), 234-246. · Zbl 0118.27701
[4] Coates, J. and Greenberg, R. : Kummer theory for abelian varieties over local fields , Inv. Math. 124 (1996), 129-174. · Zbl 0858.11032
[5] Coates, J. and Mcconnell, G. : On the Iwasawa theory of modular elliptic curves of analytic rank \leq 1 , to appear in Jnl. Lon. Math. Soc. · Zbl 0864.11053
[6] Coates, J. and Wiles, A. : On the Conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer , Inv. Math. 39 223-251 (1977). · Zbl 0359.14009
[7] De Shalit, E. : Iwasawa theory for elliptic curves with complex multiplication , Perspectives in Mathematics 3, Academic Press, Boston, 1987. · Zbl 0674.12004
[8] Greenberg, R. : On the structure of certain Galois groups , Invent. Math. 47 (1978), 85-99. · Zbl 0403.12004
[9] Greenberg, R. : Non-vanishing of certain values of L-functions, in Analytic Number Theory and Diophantine Problems , proceedings of a conference at Oklahoma State University (1984), P.I.M. vol. 70, Birkhäuser Boston 1987. · Zbl 0629.12010
[10] Greenberg, R. : Iwasawa Theory for p-adic Representations, in Advanced Studies in Pure Math . 17, Kinokuniya & Academic Press (1989), 97-137. · Zbl 0739.11045
[11] Gross, B. : Arithmetic on elliptic curves with complex multiplication , Lect. Notes Math. 776, Springer New York (1980). · Zbl 0433.14032
[12] Imai, H. : A remark on the rational points of abelian varieties with values in cyclotomic Zl-extensions , Proc. Jap. Acad. 51 (1975), 12-16. · Zbl 0323.14010
[13] Kolyvagin, V. : Euler Systems, in The Grothendieck Festschrift , Volume II, P.I.M. 87, Birkhäuser Boston 1990. · Zbl 0742.14017
[14] Matsumura, H. : Commutative Ring Theory , C.U.P. Cambridge 1989. · Zbl 0666.13002
[15] Mcconnell, G. : On the Iwasawa theory of elliptic curves over cyclotomic fields , Ph.D. thesis, University of Cambridge 1993.
[16] Mcconnell, G. : On a conjecture of Mazur for modular elliptic curves of analytic rank one , to appear.
[17] Mcconnell, G. and Yager, R. : Arithmetic of CM elliptic curves at supersingular primes , in preparation.
[18] Milne, J.S. : Arithmetic Duality Theorems , Academic Press Orlando (1986). · Zbl 0613.14019
[19] Perrin-Riou, B. : Arithmétique des courbes elliptiques et théorie d’lwasawa , thesis, Soc. Math. de France, Mémoire 17 (1984). | · Zbl 0599.14020
[20] Perrin-Riou, B. : Théorie d’lwasawa et hauteurs p-adiques: cas des variétés abéliennes , Séminaire de théorie des nombres de Paris 90/91. · Zbl 0838.11072
[21] Perrin-Riou, B. : Théorie d’Iwasawa et hauteurs p-adiques , Invent. Math. 109 (1992), 137-185. · Zbl 0781.14013
[22] Rohrlich, D.E. : On L-functions of elliptic curves and cyclotomic towers’ , Invent. Math. 75, 409-423 (1984). · Zbl 0565.14006
[23] Rubin, K. : Elliptic curves with complex multiplication and the Conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer , Invent. Math. 64 (1981), 455-470. · Zbl 0506.14039
[24] Rubin, K. : Local units, elliptic units, Heegner points and elliptic curves , Invent. Math. 88 (1987), 405-422. · Zbl 0623.14006
[25] Rubin, K. : On the main conjecture of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields , Invent. Math. 93 (1988) 701-713. · Zbl 0673.12004
[26] Rubin, K. The ’Main Conjectures’ of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields , Invent. Math. 103 (1991), 25-68. · Zbl 0737.11030
[27] Schneider, P. : p-adic height pairings II , Inv. Math. 79, 329-374 (1985). · Zbl 0571.14021
[28] Serre, J.-P. : Algèbre Locale - Multiplicités , Springer-Verlag (2nd edition) 1965. · Zbl 0142.28603
[29] Serre, J.-P. Serre, Local Fields , Springer-Verlag, New York 1979. · Zbl 0423.12016
[30] Serre, J.-P. and Tate, J. : Good Reduction of Abelian Varieties , Ann. of Math. 88 (1968), 492-517. · Zbl 0172.46101
[31] Silverman, J.H. : The Arithmetic of Elliptic Curves , Springer-Verlag, New York 1988. · Zbl 0585.14026
[32] Tate, J. : Relations between K2 and Galois Cohomology , Invent. Math. 36, 257-274 (1976). · Zbl 0359.12011
[33] Wingberg, K. : Duality Theorems for Abelian Varieties over Zp-extensions , Advanced Studies in Pure Math. 17, 471-492 (1989). · Zbl 0746.14011
[34] Wintenberger, J.-P. : Structure Galoisienne de limites projectives d’unités locales , Compos. Math. 42 1 (1981) 89-103. · Zbl 0414.12008
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.