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Boundary value problems in domains with cuspidal points. (Problèmes aux limites dans des domaines avec points de rebroussement.) (French) Zbl 0864.35018
L’auteur étudie le problème de Dirichlet pour le laplacien et le bilaplacien dans un domaine plan presentant un point de rebroussement. Plus précisement, si \(\Omega=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0<x<\alpha\), \(0<y<x^\alpha\) avec \(\alpha>1\}\) et si on considère un changement de variables du à K. Ibuki [J. Math. Kyoto Univ. 14, 54-71 (1974; Zbl 0281.35031)] alors on peut réduire le problème considéré au problème de Dirichlet dans une demibande infinie \(\Omega_0= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\), \(x>0\), \(0<y<1\}\). L’auteur démontre qui si \(f\in L^p(\Omega)\) alors la solution de \(\Delta u=f\) appartient à \(W^{2,p} (\Omega)\) (ce qui est nouveau pour \(p\neq 2\)). Ou étend ce resultat à un domaine-modèle dans \(\mathbb{R}^3\), \(Q=\Omega\times (0,\pi)\). Avec les mêmes techniques on démontre qui si \(u\) vérifie \(\Delta^2u=f\), avec \(f\in W^{-1,p} (\Omega)\) alors \(u\in W^{3,p}\) au voisinage du point de rebroussement. On donne aussi une application pour les équations de Navier-Stokes linéarisées près du point de rebroussement.

MSC:
35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs
35J05 Laplace operator, Helmholtz equation (reduced wave equation), Poisson equation
35J40 Boundary value problems for higher-order elliptic equations
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
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