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Groups as Galois groups: an introduction. (English) Zbl 0868.12003
Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge: Cambridge Univ. Press. xvii, 248 p. (1996).
Die Frage der Auflösbarkeit eines Polynomes durch Radikale stellt eines der klassischen Probleme der Algebra dar. E. Galois hat gezeigt, daß ein separables Polynom genau dann auflösbar ist, wenn seine Galoisgruppe auflösbar ist. Somit stellt sich die Frage, ob es nicht auflösbare Gruppen gibt, die als Galoisgruppen über einem gegebenen Körper realisiert werden können. Dies ist bereits der Beginn des Umkehrproblems der Galoistheorie:
Gegeben sei eine (endliche) Gruppe \(G\) und ein Körper \(K\). Gibt es eine Galoiserweiterung \(L/K\) mit einer zu \(G\) isomorphen Galoisgruppe? In den letzten 20 Jahren hat sich dieses Problem zu einem aktuellen Forschungsgegenstand entwickelt. Die Theorie ist noch lange nicht voll entwickelt und bleibt spannend und faszinierend zugleich. J. P. Serre hat in seinem 1992 erschienenen Buch [Topics in Galois theory, Res. Notes Math. 1 (1992; Zbl 0746.12001)] einige Methoden vorgestellt, die zur Realisierung von endlichen Gruppen als Galoisgruppen führen. Der Verf. hat sich nun einer dieser Methoden angenommen, um sie vollständig in Lehrbuchform einer breiten mathematischen Öffentlichkeit nahezubringen. Hierbei handelt es sich um die von Matzat, Belyi und Thompson in den 80’er Jahren entwickelte Rigiditätsmethode. Der zugehörige Hauptsatz besagt, daß eine endliche Gruppe \(G\) eine Galoisgruppe über \(\mathbb{Q}\) ist, falls \(G\) eine rein gruppentheoretische Bedingung erfüllt. Dieses tiefliegende Resultat basiert auf Hilberts Irreduzibilitätssatz und Riemanns Existenzsatz. Das erste Kapitel enthält nun im wesentlichen einen vollständigen Beweis dieses schönen Satzes. Danach widmet sich der Autor neueren Verallgemeinerungen dieser Methode.
Eine Schlüsselstellung in der gesamten Theorie nimmt Hilberts Irreduzibilitätssatz ein. Aus ihm folgt, daß \(G\) eine Galoisgruppe über \(\mathbb{Q}\) ist, falls \(G\) eine Galoisgruppe über dem Funktionenkörper \(\mathbb{Q}(x)\) ist. Der erste Paragraph enthält einen vollständigen Beweis des klassischen Resultates von Hilbert und die sich aus diesem Satz ergebenden Konsequenzen für das Umkehrproblem der Galoistheorie. Die Verlagerung des Problems von \(\mathbb{Q}\) auf \(\mathbb{Q}(x)\) ermöglicht es nun algebraische Geometrie und die Theorie der Riemannschen Flächen zu benutzen.
Zunächst befaßt sich der Autor mit Galoiserweiterungen über \(\mathbb{C}(x)\). Im zweiten Paragraphen wird eine algebraische Version des Riemannschen Existenzsatzes vorgestellt, welche eine äquivalente gruppentheoretische Bedingung für die Existenz einer Galoiserweiterung über \(\mathbb{C}(x)\) mit vorgegebenem Verzweigungsverhalten angibt. Dies führt zur Definition eines rigiden Tupels bestehend aus Konjugiertenklassen von Da wir jedoch an Galoiserweiterungen über \(\mathbb{Q}(x)\) interessiert sind, ergibt sich nun die Aufgabe der Entwicklung einer Descenttheorie. Hiervon handeln die Paragraphen 3 und 7 des Buches.
Die Benutzung des rationalen Rigiditätskriteriums hat zur Realisierung vieler einfacher Gruppen als Galoisgruppen über \(\mathbb{Q}\) geführt. Einige dieser Anwendungen werden hier vorgestellt, um die Ergebnisse zu illustrieren.
Die Paragraphen 4 bis 6 enthalten einen vollständigen Beweis des Riemannschen Existenzsatzes. Zuerst werden alle benötigten Begriffe aus der algebraischen Topologie und der Theorie Riemannscher Flächen eingeführt und die notwendigen Sätze bewiesen. Nachdem die algebraische Version des Riemannschen Existenzsatzes aus der analytischen Version gefolgert wurde, wird letztere bewiesen.
Bis zu dieser Stelle hat das Buch Lehrbuchcharakter. Der Leser muß die elementare Galoistheorie im Umfang einer Algebravorlesung beherrschen und einige Grundkenntnisse aus Analysis besitzen. Alles Weitere wird in dem Buch eingeführt. Dieser Teil eignet sich so hervorragend für Studierende, die sich für diesen aktuellen Gegenstand interessieren, jedoch nicht die Möglichkeit haben, erst noch viele Grundlagenvorlesungen zu besuchen. Ebenso kann ich mir diesen Teil des Buches als Basis für eine Vorlesung vorstellen.
Die neuere Fortentwicklung der Rigiditätsmethode (Stichworte: Zopfgruppe, Modulräume), zu denen der Autor einige Beiträge geleistet hat, erfordert eine breitere mathematische Grundlage. Daher muß der Verf. an dieser Stelle den Lehrbuchcharakter des ersten Teiles verlassen. Da jedoch auch der zweite Teil für eine breite mathematische Öffentlichkeit lesbar sein soll, hat sich der Autor entschieden, auf einige Beweise zu verzichten, dafür jedoch die zum Verständnis der Theorie notwendigen Grundlagen zusammenzustellen.
Dieses Buch behandelt im wesentlichen Körper der Charakteristik Null mit einem besonderen Blick auf die rationalen Zahlen. Es ist jedoch nicht aus der Sicht der Zahlentheorie geschrieben worden. Ebenso verfolgt der Autor nicht das Ziel eine breite Einführung in die vielfältigen Methoden dieser Theorie zu geben, stattdessen hat er ein schönes Buch über die Rigiditätsmethode vorgelegt, welches ich gerne weiterempfehle. Mit diesem Buch wird auch Nichtspezialisten die Möglichkeit geboten, einmal in einen anderen Bereich hinzuriechen.

MSC:
12F12 Inverse Galois theory
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
11R32 Galois theory
12F10 Separable extensions, Galois theory
12E25 Hilbertian fields; Hilbert’s irreducibility theorem
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