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Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. (Lessons on the theorem of Beurling and Malliavian.) (French) Zbl 0869.30023
Montréal: Les Publications CRM. xii, 230 p. (1996).
Le théorème en question, dit du multiplicateur, fournit des conditions suffisantes, portant sur une fonction measurable \(W:\mathbb{R}\to[1,+\infty[\), pour que (M). Il existe des fonctions entières \(f\not\equiv 0\), de type exponentiel arbitrairement petit, telles que \(Wf|_{\mathbb{R}}\) soit bornée. Ses auteurs établirent, par des démonstrations indépendantes l’une de l’autre, deux telles conditions: \[ \int^{+\infty}_{-\infty} [\ln W(x)/(1+x^2)]dx<\infty \] et, ou bien (1) \(W\) est la restriction à \(\mathbb{R}\) d’une fonction entière de type exponentiel, ou bien (2) \(\ln W\) est uniformément lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\). Dans les présentes leçons, on montre d’abord directement que (2)\(\Rightarrow\)(M) est conséquence de (1)\(\Rightarrow\)(M), et que réciproquement (1)\(\Rightarrow\)(M) est conséquence, non seulement de (2)\(\Rightarrow\)(M), mais aussi de (2)\(\Rightarrow(\text{M}')\). Il existe des fonctions entières \(f\not\equiv 0\), de type exponentiel \(\leq C\sup_{\mathbb{R}^2}|[\ln W(x)- \ln W(x')]/(x- x')|\) (où \(C\) est une constante absolue) rendant \(Wf|_{\mathbb{R}}\) bornée; la preuve de ce dernier résultat fait appel à un lemme de Beurling et Malliavin assurant la convergence de l’intégrale \(\int^{+\infty}_{-\infty}[y/(1+ x^2)]dx\) prise le long d’une ligne de niveau d’une solution du problème de Dirichlet dans le demi-plan \(y>0\). L’auteur ramène ainsi la preuve du Théorème du multiplicateur à celle ce (2)\(\Rightarrow(\text{M}')\), et pour celle-ci il utilise essentiellement, outre le lemme déjà cité, un théorème de Lelong et Gruman d’après lequel, étant donné \(\varphi\) surharmonique sur \(\mathbb{C}\) et \(\alpha>1\), il existe une fonction entière \(F\not\equiv 0\) telle que \(e^{\varphi(z)}(1+|z|^2)^\alpha F(z)^2\) soit intégrable sur \(\mathbb{C}\). Il montre aussi comment l’énoncé (1)\(\Rightarrow\)(M) et la notion de densité effective d’une suite réelle \((\lambda_k)\) furent utilisés par Beurling et Malliavin pour résoudre le problème de la totalité, dans \(L^2(-\mathbb{R},\mathbb{R})\), de la suite des \(\exp(i\lambda_kt)\); il signale enfin l’existence d’une condition nécessaire pour (M) que est aussi presque suffisante, \(Wf\in L^\infty\) étant remplacé par \(Wf\in L^p\) \(\forall p<\infty\).
Reviewer: M.Hervé (Paris)

MSC:
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
30-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to functions of a complex variable
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