Potentially semi-stable \(\ell\)-adic representations. (Exposé VIII: Représentations \(\ell\)-adiques potentiellement semi-stables.) (French) Zbl 0873.14020

Fontaine, Jean-Marc

Fontaine, Jean-Marc (ed.), Périodes \(p\)-adiques. Séminaire de Bures-sur-Yvette, France, 1988. Paris: Société Mathématique de France, Astérisque. 223, 321-347 (1994).

Dans tout cet exposé, \(K\) est un corps complet pour une valuation discrète, de caractéristique 0, à corps résiduel parfait \(k\) de caractéristique \(p>0\). On choisit une clôture algébrique \(\overline K\) de \(K\). Pour toute extension \(L\) de \(K\) contenue dans \(\overline K\), on note \(G_L\) le groupe de Galois de l’extension \(\overline K/L\) et \(I_L\) son groupe d’inertie (i.e. le sous-groupe qui opère trivialement sur le corps résiduel).
Let but de cet exposé est de donner un traitement unifié des représentations \(\ell\)-adiques potentiellement semistable de \(G_K\), que le nombre premier \(\ell\) soit ou non égal à \(p\). C’est ainsi que, lorsque \(k\) est fini, on peut associer à une telle représentation une représentation du groupe de Weil-Deligne de \(G_K\).
Au paragraphe 1, on introduit la notion de \(\ell\)-module de Deligne. Pour \(\ell\neq p\), c’est une variante de la notion de représentation du groupe de Weil-Deligne de \(K\) qui est commode pour étudier les représentations \(\ell\)-adiques potentiellement semistables lorsque l’on ne fait aucune hypothèse sur \(k\). Pour \(\ell=p\), c’est essentiellement la notion de \((\varphi, \dot N,G_K)\)-module introduite par l’A. dans exposé III [voir J.-M. Fontaine dans le même volume, Astérisque 223, 113-184 (1994; Zbl 0865.14009)] également pour l’étude des représentations semistables. Au paragraphe 2, on s’intéresse à ces représentations, on introduit un foncteur, pour \(\ell\neq p\), permet de passer des \(\ell\)-modules de Deligne aux représentations de \(G_K\) et qui doit être compris comme l’analogue de ce qi a été fait dans par l’A. dans exposé III (loc. cit.) pour \(\ell=p\). On termine en énonçant des conjectures sur la cohomologie étale \(\ell\)-adique.
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MSC:

14F30	\(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14G20	Local ground fields in algebraic geometry
14L05	Formal groups, \(p\)-divisible groups
11G09	Drinfel’d modules; higher-dimensional motives, etc.

Keywords:

semistable \(\ell\)-adic representation of the Galois group; Weil-Delique group; Deligne module; characteristic \(p\); \(\ell\)-adic étale cohomology

Citations:

Zbl 0865.14009