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On alternative heights. III. (Sur des hauteurs alternatives. III.) (French) Zbl 0878.11025

Die vorliegende Arbeit setzt die vorstehend besprochene und die dort zitierte Untersuchung des Verf. fort (vgl. Zbl 0878.11023 und Zbl 0726.14017). Im wesentlichen werden zwei Probleme behandelt: Das erste betrifft die Suche nach Beziehungen zwischen der Theorie der Höhen und derjenigen von Schnitten projektiver Varietäten über \({\overline{\mathbb Q}}\); hierauf soll hier nicht näher eingegangen werden. Im zweiten Problemkreis geht es um die normalisierte Höhe von Untervarietäten einer abelschen Varietät. Hier beantwortet Verf. teilweise eine von ihm selbst in Teil I aufgeworfene Frage. Dort hat er für über \({\overline{\mathbb Q}}\) definierte, in \({\mathbb P}^n\) eingebettete abelsche Varietäten gezeigt, daß sich die klassische Néron-Tate-Höhe von \(A\) zu einer normalisierten Höhe \({\hat h}\) fortsetzen läßt, die auf allen Untervarietäten von \(A\) positiver Dimension definiert ist. Die Frage war, alle Untervarietäten \(V\) von \(A\) der Höhe 0 zu bestimmen. Ist A isogen zu einem Produkt elliptischer Kurven, so beweist Verf., daß \({\hat h}(V) = 0\) genau dann gilt, wenn \(V\) eine Translation einer abelschen Untervarietät von \(A\) um einen Torsionspunkt von \(A\) ist. Schließlich weist Verf. auf gewisse Verallgemeinerungsmöglichkeiten dieses Resultats hin.

MSC:

11G35 Varieties over global fields
11G10 Abelian varieties of dimension \(> 1\)
14G40 Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights
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