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Some dense barrelled subspaces of \(\omega\) and incomplete \(\varphi\)-spaces. (English) Zbl 0880.46002
Rappelons qu’un \(\varphi\)-espace est un espace localement convexe séparé, dont la dimension est infinie dénombrable et dont toutes les parties finies sont de dimension finie; et le travail des AA. s’appuie sur des résultats anciens dûs à Köthe. Ils considèrent un ensemble \(\mathcal A\) de parties de \(N\), dont la réunion est \(N\), mais auquel \(N\) n’appartient pas; de plus, \(\mathcal A\) est stable par réunions finies et par passage aux sous-ensembles; enfin, chaque partie infinie de \(N\) contient un élément infini de \(\mathcal A\). On désigne, alors, par \(\omega_{\mathcal A}\) l’ensemble des éléments de \(\omega\) dont le support appartient à \(\mathcal A\), puis par \(x_0\) un élément de \(\omega\) n’appartenant pas à \(\omega_{\mathcal A}\), enfin par \(G\) le sous-espace vectoriel de \(\omega\) engendré par \(x_0\) et \(\omega_{\mathcal A}\).
La proposition centrale s’énonce: \(\varphi\) n’est pas complet pour la topologie de Mackey \(\tau(\varphi,G)\). Dans le cours de l’article, plusieurs exemples sont proposés, et de nombreuses conséquences indiquées.
MSC:
46A08 Barrelled spaces, bornological spaces
46A20 Duality theory for topological vector spaces
46A45 Sequence spaces (including Köthe sequence spaces)
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Full Text: DOI EuDML