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Real Grassmann polylogarithms and Chern classes. (English) Zbl 0882.19003

Dans le cas du dilogarithme \(\ln_2\) (resp. du logarithme \(\ln\)), nous avons la fonction de Bloch-Wigner \(D_2(x)=\text{Im }\ln_2(x)+ \log|x|\text{Arg}(1- x)\) (resp. \(D_1(x)=\ln|x|\)).
Dans cet article, les AA. définissent plus généralement une fonction de Bloch-Wigner sur une variété algèbrique \(X\) complexe lisse comme une fonction univalente réelle sur \(X\) de la forme \(x\to\sum_l \int^x_{x_0} w_{i_1}\cdot\cdots\cdot w_{i_r}\) où chaque \(w_{i_j}\in\Omega^1(X)\). Ils définissent ensuite le complexe \(\Omega^1_{BW}(X)\) des formes de Bloch-Wigner puis la (\(BW\)-) cohomologie \(H^*_{BW}(X,\mathbb{R}(m))\) analogue de la cohomologie de Deligne construite en utilisant les formes de Bloch-Wigner au lieu des formes usuelles. Il existe une application naturelle \[ H^*_{BW}(X,\mathbb{R}(m))\to H^*_{\text{Deligne}}(X,\mathbb{R}(m)). \] Les polylogarithmes sont des éléments specifiques de la \(BW\)-cohomologie de certaines variétés simpliciales \(X^m_.= G^m_.\) où \(G^m_n\) est un certain ouvert de Zariski de la sous-partie de la Grassmanniene des \(n\)-sous-espaces linéaires de \(\mathbb{P}^{n+m}\). Il y a une fonction naturelle \(\delta: H^{2m}_{BW}(G^m_.,\mathbb{R}(m))\to \Omega^m(G^m_.)\). Parmi ces polylogarithmes, on définit les \(m\)-logarithmes réels Grassmanniens comme ceux pour lesquels l’image sous \(\delta\) est la forme volume \({dx_1\over x_1}\wedge\cdots\wedge{dx_m\over x_m}\).
Les AA. établissent alors les résultats suivants:
Théorème A: Pour \(m\leq 4\), il existe un \(m\)-logarithme réel Grassmannien.
Pour \(m=3\), on obtient un trilogarithme lié à celui de Goncharov.
Théorème B: Pour chaque \(m\geq 1\), il existe un \(m\)-logarithme réel Grassmannien générique.
La partie du cocycle d’un \(m\)-logarithme Grassmannien réel est une fonction de Bloch-Wigner définie génériquement sur \(G^m_{m-1}\) qui satisfait à la \((2m+1)\)-équation fonctionnelle \[ \sum^{2m}_{j=0} (-1)^jA^*_j D_m=0\quad(A_j=\text{opérateur ``face''}).\tag{\(*\)} \] Une fonction de Bloch-Wigner définie génériquement sur \(G^m_{m-1}\) et qui satisfait \((*)\) définit une fonction \(r_mK_{2m-1}(\text{Spec }\mathbb{C})\to\mathbb{R}\) (\(r_m\) indique la partie de \(K_{2m-1}\) venant de \(GL_m\)).
Théorème C: Si \(D_m\) est une fonction de Bloch-Wigner définie génériquement sur \(G^m_{m-1}\) associée au choix canonique d’un \(m\)-logarithme réel Grassmannien, alors la fonction correspondante \(r_mK_{2m-1}(\mathbb{C})\to\mathbb{R}\) est égale à la restriction de la classe de Beilinson-Chern \(C^B_m: K_{2m-1}(\mathbb{C})\to H^1_{\text{Deligne}}(\mathbb{C}, \mathbb{R}(m))\simeq\mathbb{R}\) à \(r_mK_{2m-1}(\mathbb{C})\).
Plus généralement, une \(m\)-logarithme réel Grassmannien définit une fonction \(r_mK_n(\eta_X)\to H^{2m-n}_{\text{Deligne}}(\eta_X,\mathbb{R}(m))\) (\(\eta_X=\) point générique de \(X\)).
Théorème D: Cette fonction associée au choix canonique d’un polylogarithme réel Grassmannien est la restriction de la classe de Chern-Beilinson \(C^B_m\) à \(r_mK_n(\eta_X)\).
Reviewer: J.C.Douai (Lille)

MSC:

19F27 Étale cohomology, higher regulators, zeta and \(L\)-functions (\(K\)-theoretic aspects)
14F40 de Rham cohomology and algebraic geometry
19F15 Symbols and arithmetic (\(K\)-theoretic aspects)
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Full Text: DOI arXiv EuDML

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