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A note on the Łojasiewicz exponent at infinity. (English) Zbl 0883.32022
L’exposant de Łojasiewicz \({\mathcal L}_\infty (H)= \liminf_{|z |\to \infty} {\ln |H(z) |\over\ln |z|}\) d’une application polynomiale \(H: \mathbb{C}^2 \ni(x,y) =z \mapsto (f(z), g(z)) \in\mathbb{C}^2\) \((f,g\) polynomes non const. en \(x,y\), de degrés \(m,n)\), dont la fibre \(H^{-1} (0)\) est discrète (ce qui équivaut à \({\mathcal L}_\infty (H)> -\infty)\), est mis en relation avec les cardinaux (tenant compte des multiplicités) des fibres discrètes \(H^{-1} (w)\). Si \(d(H)\) est leur plus grande valeur et \(d(H)- \delta_w(H)\) le cardinal de \(H^{-1} (w)\): \[ \delta_0 (H)=0 \Leftrightarrow {\mathcal L}_\infty (H)\geq 0; \]
\[ \delta_0 (H)>0 \Rightarrow \text{l'encadrement } {\min(m,n) \over mn-d (H)} \delta_0 (H)\leq- {\mathcal L}_\infty (H)\leq \delta_0(H). \]
Reviewer: M.Hervé (Paris)
MSC:
32H30 Value distribution theory in higher dimensions
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