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Separation, factorization and finite sheaves on Nash manifolds. (English) Zbl 0885.14029
Sei \(M\subset\mathbb{R}^m\) eine Nash-Mannigfaltigkeit. Mit \({\mathcal N}\) wird die Garbe der Nash-Funktionen auf \(M\) und mit \({\mathcal O}\) die Garbe der analytischen Funktionen auf \(M\) bezeichnet. \({\mathcal N}\) ist eine kohärente Garbe von \({\mathcal N}\)-Moduln. Deshalb ist eine kohärente \({\mathcal N}\)-Idealgarbe bereits kohärent, wenn sie lokal endlich erzeugt ist. Aber die Klasse der kohärenten Idealgarbe ist in der Theorie der Nash-Funktionen zu groß. Es ist sinnvoll, die kleinere Klasse der sogenannten endlichen \({\mathcal N}\)-Idealgarben zu betrachten. In der vorliegenden Arbeit geht es um folgende Probleme:
Das Separationsproblem: Sei \({\mathfrak p}\) ein Primideal von \({\mathcal N}(M)\). Ist \({\mathfrak p}{\mathcal O}(M)\) ein Primideal von \({\mathcal O}(M)\)? – \(\text{Sep}(M)\) bedeute, daß das Separationsproblem für alle Primideale eine positive Antwort hat. \(\text{Sep}_1(M)\) bedeute die Gültigkeit für Primideale der Höhe 1.
Das Faktorisierungsproblem: Sei \(f\in{\mathcal N}(M)\) und sei \(f=f_1f_2\) mit \(f_1,f_2\in{\mathcal O}(M)\). Gibt es \(g_1,g_2\in{\mathcal N}(M)\) und positive Funktionen \(\varphi_1, \varphi_2\in{\mathcal O}(M)\), derart daß \(\varphi_1, \varphi_2=1\), \(f_1= \varphi_1g_1\), \(f_2=\varphi_2g_2\)? – Bei positiver Antwort für alle \(f\in{\mathcal N}(M)\) notieren wir \(\text{Fact}(M)\).
Das Problem der globalen Erzeugbarkeit: Sei \(I\) eine endliche \({\mathcal N}\)-Idealgarbe. Ist \(I\) durch globale Nash-Funktionen erzeugbar? – Gilt dies für alle endlichen Idealgarben, schreiben wir \(\text{Glob}(M)\). Gilt es für endliche Hauptidealgarben, so notieren wir \(\text{Glob}_1(M)\). Schränken wir die Betrachtung auf Garben von Radikalidealen ein, benutzen wir den oberen Index \(r\), also \(\text{Glob}^r(M)\) oder \(\text{Glob}_1^r(M)\).
Das Fortsetzungsproblem: Sei \(I\) eine endliche \({\mathcal N}\)-Idealgarbe. Ist der natürliche Homomorphismus \({\mathcal H}^0(M,{\mathcal N})\to{\mathcal H}^0(M,{\mathcal N}/I)\) surjektiv? – Bei Gültigkeit schreiben wir analog zum obigen Problem \(\text{Ext}(M)\), \(\text{Ext}_1 (M)\), \(\text{Ext}^r(M)\), \(\text{Ext}_1^r(M)\).
Die Autoren beweisen die folgenden Theoreme:
Theorem 1: Die Eigenschaften \(\text{Sep}(M)\), \(\text{Glob}^r(M)\), \(\text{Glob}(M)\), \(\text{Ext}^r(M)\), \(\text{Ext}(M)\) sind äquivalent.
Theorem 2: Die Eigenschaften \(\text{Fact}(M)\), \(\text{Sep}_1(M)\), \(\text{Glob}_1^r(M)\), \(\text{Glob}_1(M)\), \(\text{Exp}_1^r(M)\), \(\text{Ext}_1(M)\) sind äquivalent.
In einem abschließenden Abschnitt werden über die Äquivalenzaussagen hinaus einige positive Antworten zu den Problemen gegeben.

MSC:
14P20 Nash functions and manifolds
58A07 Real-analytic and Nash manifolds
32C07 Real-analytic sets, complex Nash functions
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Numdam EuDML
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