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Algebraic independence and \(K\)-functions. (Indépendance algébrique et \(K\)-fonctions.) (French) Zbl 0887.11032

K. Barré, G. Diaz, F. Gramain et G. Philibert [Invent. Math. 124, 1-9 (1996; Zbl 0853.11059)] ont montré la transcendance sur \(\mathbb{Q}\) des valeurs du \(q\)-développement de la fonction modulaire invariante \(J\) aux points algébriques \(\neq 0\) du disque unité de \(\mathbb{C}\) ou \(\mathbb{C}_p\). Le présent texte formalise leur démonstration en montrant qu’il s’agit d’une extension de la méthode de transcendance de Mahler aux éléments d’une sous-classe des \(G\)-fonctions, baptisés \(K\)-fonctions. Deux applications spectaculaires sont données, la première établit l’indépendance algébrique sur \(\mathbb{Q}\) de trois au moins parmi les nombres \(q\) et les valeurs en \(q\) des séries de Ramanujan-Eisenstein \(P,Q,R\) (aussi notées \(E_1\), \(E_2\), \(E_3)\) lorsque \(q\neq 0\) appartient au disque unité de \(\mathbb{C}\) ou \(\mathbb{C}_p\). Le cas complexe revient à Yu. Nesterenko [Astérisque 147/148, 141-149 (1987; Zbl 0615.10043)] et contient entre autre, pour \(q=e^{2i \pi\tau}\), \(\tau\) quadratique imaginaire, l’indépendance algébrique des triplets de nombres \(\pi,e^\pi, \Gamma (1/4)\) et \(\pi,e^{\pi \sqrt 3}\), \(\Gamma(1/3)\) et des couples de nombres \(\pi,e^{\pi \sqrt d}\) pour \(d\in \mathbb{N}^*\).
Une première démonstration utilise un lemme de multiplicité de Yu. Nesterenko et un critère pour l’indépendance algébrique. Dans le cas où \(J(q)\) est algébrique (cas qui comprend les exemples cités ci-dessus: \(J(e^{2i \pi\tau}) \in\overline \mathbb{Q}\) pour \(\tau\) quadratique imaginaire), une seconde démonstration est donnée en remplaçant les outils précédents par une mesure d’indépendance algébrique d’une base de transcendance du corps engendré sur \(\mathbb{Q}\) par \(P(q)\), \(Q(q)\), \(R(q)\), proposée par G. V. Chudnovsky et démontrée par G. Philibert [Ann. Inst. Fourier 38, 85-103 (1988; Zbl 0644.10026)].
La seconde application établit l’indépendance algébrique sur \(\mathbb{Q}\) d’au moins \(a-1\) parmi les nombres \(q\) et les valeurs des fonctions de Mahler \(f(q), \dots, f(q^{a-1})\) où \(f(z)= \sum_{i\geq 0} z^{a^i}\), lorsque \(q\neq 0\) appartient au disque unité de \(\mathbb{C}\) ou \(\mathbb{C}_p\). Le cas où \(q\) est algébrique est un résultat bien connu de K. Mahler [Math. Z. 32, 545-585 (1930; JFM 56.0186.01)] et M. Amou [Acta Arith. 59, 71-82 (1991; Zbl 0735.11031)] avait déjà montré dans le cas où \(q\) est transcendant qu’au moins \([a/2]\) des nombres ci-dessus sont algébriquement indépendants. L’outil essentiel ici est la version du critère pour l’indépendance algébrique donnée dans le texte, séparant les degrés entre les différents nombres transcendants en jeu.

MSC:

11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11J91 Transcendence theory of other special functions
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
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