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Theory of holomorphic functions of several variables. An introduction. (Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. Une introduction.) (French) Zbl 0887.32001

Savoirs Actuels. Paris: CNRS Éditions. Paris: Masson. xiii, 244 p. (1997).
Sur une théorie déjà exposée maintes fois par les meilleurs spécialistes, ce livre a le mérite de présenter des vues nouvelles et des résultats très récents. Ainsi, on utilise abondamment la notion de courant sur une variété différentiable orientée \(X\) de dimension \(n\), on traite le problème de sa régularisation, on généralise l’accouplement d’un courant et d’une forme différentielle par l’indice de Kronecker de deux courants sur \(X\) dont les degrés ont pour somme \(n\); à l’aide de la formule de Stokes pour cet indice, on établit la formule intégrale de Bochner-Martinelli. Puis 2 chapitres sont consacrés à l’extension des fonctions CR définies sur le bord d’un domaine \(D\) borné dans \(\mathbb{C}^n\) ou relativement compact dans une variété analytique complexe: dans le cas de \(\mathbb{C}^n\), le théorème de Bochner est obtenu à l’aide de la transformée de Bochner-Martinelli, puis étendu à une fonction CR définie seulement sur une partie \(\partial D\setminus K\) de \(\partial D\), moyennant des conditions sur \(K\) qui, dans le cas d’une variété, se traduisent en conditions cohomologiques. Après un chapitre introduisant convexité holomorphe et pseudoconvexité, le problème de Levi est résolu par une méthode utilisant: la résolution locale du \(\overline \partial\) avec estimations höldériennes; l’étude, par la technique des bosses de Grauert, de l’invariance de la cohomologie de Dolbeault; enfin un théorème de Laufer selon lequel, pour un ouvert \(\Omega\) de \(\mathbb{C}^n\), les groupes \(H^{p,q} (\Omega)\), \(0\leq p\leq n\), \(1\leq q\leq n\), sont réduits à \(\{0\}\) ou de dimension infinie.
Le dernier chapitre, caractérisant les singularités illusoires pour les fonctions CR sur un bord strictement pseudoconvexe, doit beaucoup aux travaux récents de l’Auteur et de Lupacciolu.
Enfin 3 annexes, sur les variétés différentiables, la théorie des faisceaux et l’analyse fonctionnelle, mettent le lecteur débutant à même de lire le livre jusqu’au bout et d’en tirer le plus grand profit.
Reviewer: M.Hervé (Paris)

MSC:

32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
32C30 Integration on analytic sets and spaces, currents
58A05 Differentiable manifolds, foundations
32A25 Integral representations; canonical kernels (Szegő, Bergman, etc.)
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