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Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions. (English) Zbl 0888.11030

Die vorliegende Arbeit hat die bisher am weitesten reichende Verallgemeinerung eines Satzes von Th. Schneider zum Inhalt [Math. Ann. 113, 1-13 (1936; Zbl 0014.20402)], daß nämlich die elliptische Modulfunktion \(j\) an algebraischen Stellen \(z\) genau dann algebraische Werte \(j(z)\) annimmt, wenn \(z\) imaginärquadratisch ist, d.h. wenn es sich um einen CM-Punkt handelt. Diese Aussage ist zunächst von Y. Morita auf automorphe Funktionen zu Normeinsgruppen gewisser Quaternionenalgebren verallgemeinert worden [J. Math. Soc. Japan 24, 268-274 (1972; Zbl 0232.10025)], von R.-P. Holzapfel auf Picardsche Modulfunktionen [Math. Nachr. 161, 7-25 (1993; Zbl 0823.14034)] und von H. Shiga und J. Wolfart auf automorphe Funktionen zu Modulgruppen für Familien abelscher Varietäten von PEL-Type [J. Reine Angew. Math. 463, 1-25 (1995; Zbl 0827.11043)]; an der letzteren Arbeit war P. B. Cohen ebenfalls beteiligt [in: Number theory, Séminaire de théorie des nombres de Paris 1992-93, 81-89, Cambridge University Press, 81-89 (1995; Zbl 0827.11044)].
Die vorliegende Arbeit unterscheidet sich davon in drei Punkten: Die Autorin behandelt sämtliche Familien abelscher Varietäten, die sich über modulare Einbettungen in eine geeignete PEL-Familie einbetten lassen; somit erfaßt sie auch die von Mumford-Tate entdeckten Familien mit vorgegebenem Hodgetyp. Für diese modularen Einbettungen verwendet sie einfachere, von Satake entwickelte Techniken. Schließlich wird für den entscheidenden Transzendenzschluß, wie in allen neueren Arbeiten zum vorliegenden Thema, Wüstholz’ “analytic subgroup theorem” verwendet, hier aber in einer Version, die bereits H. Shiga in einer früheren Arbeit über Siegelsche Modulfunktionen eingesetzt hat [Astérisque 209, 293-305 (1992; Zbl 0862.11046)].

MSC:

11J91 Transcendence theory of other special functions
11F41 Automorphic forms on \(\mbox{GL}(2)\); Hilbert and Hilbert-Siegel modular groups and their modular and automorphic forms; Hilbert modular surfaces
11G15 Complex multiplication and moduli of abelian varieties
14K22 Complex multiplication and abelian varieties
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References:

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