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Geometry of subanalytic and semialgebraic sets. (English) Zbl 0889.32006
Progress in Mathematics (Boston, Mass.). 150. Boston, MA: Birkhäuser. xii, 431 p. (1997).
Nach einem einleitenden Kapitel über Whitney-Stratifikationen, subanalytische und semialgebraische Mengen, \(PL\)-Topologie und Triangulationen wendet sich der Autor ab Kapitel II den sogenannten \({\mathcal X}\)-Mengen zu.
Ein System \({\mathcal X}\) von \({\mathcal X}\)-Mengen ist eine Familie von Teilmengen der euklidischen Räume \(\mathbb{R}^n\), welche folgende Axiome erfüllt:
(i) Jede algebraische Teilmenge eines \(\mathbb{R}^n\) ist ein Element von \({\mathcal X}\).
(ii) Sind \(X_1,X_2\) Elemente von \({\mathcal X}\), dann auch \(X_1\cap X_2\), \(X_1 -X_2\) und \(X_1\times X_2\).
(iii) Ist \(X\subset \mathbb{R}^n\) ein Element von \({\mathcal X}\) und \(p: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) eine lineare Abbildung, derart daß \(p\mid \overline X\) eigentlich ist, so ist auch \(p(X)\) ein Element von \({\mathcal X}\).
(iv) Ist \(X\subset \mathbb{R}\), \(X\in {\mathcal X}\), so besitzt jeder Punkt \(x\in X\) eine Umgebung in \(X\), welche eine endliche Vereinigung von Punkten und Intervallen ist.
Das System \({\mathcal S}\) der subanalytischen Mengen ist ein System von \({\mathcal X}\)-Mengen, das System der semialgebraischen Mengen ist das kleinste System von \({\mathcal X}\)-Mengen.
Der Begriff der \({\mathcal X}\)-Menge stellt einen vereinheitlichen Rahmen für das Buch dar.
In Kapitel II werden die Grundlagen der Theorie der \({\mathcal X}\)-Mengen entwickelt, wie Triangulation, \({\mathcal X}\)-Mannigfaltigkeiten der Klasse \(C^r\), \({\mathcal X}\)-Trivialität von Abbildungen, Singularitäten.
In Kapitel III geht es um die \(PL\)-Homöomorphie kompakter Polyeder \(X,Y\) in \(\mathbb{R}^n\). Ausgangspunkt ist die Vermutung: Existieren streng isomorphe Whitney-Stratifikationen von \(X\) und \(Y\), so sind \(X\) und \(Y\) \(PL\)-homöomorph. Für die Vermutung werden unter Zusatzbedingungen Beweise gegeben. Als Korollar folgt: Sind \(X,Y\) \({\mathcal X}\)-homöomorph, so sind \(X,Y\) \(PL\)-homöomorph.
In Kapitel IV ist die Triangulierbarkeit von \({\mathcal X}\)-Abbildungen Gegenstand der Betrachtung. Es werden Bedingungen für die lokale bzw. globale \({\mathcal X}\)-Triangulierbarkeit von \({\mathcal X}\)-Abbildungen zwischen \({\mathcal X}\)-Mengen angegeben. Das Problem der Eindeutigkeit wird diskutiert.
Im abschließenden Kapitel IV wird das Konzept der \({\mathcal X}\)-Mengen verallgemeinert zum Konzept der sogenannten \({\mathcal Y}\)-Mengen. Das kleinste System von \({\mathcal Y}\)-Mengen ist die Familie der rationalen semilinearen Mengen.
Das Buch insgesamt wie auch die Kapitel sind sehr übersichtlich gegliedert. Es liegt in der Natur der Sache, daß die Beweise zum Teil sehr technisch und schwer lesbar sind.

MSC:
32B20 Semi-analytic sets, subanalytic sets, and generalizations
14P10 Semialgebraic sets and related spaces
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
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