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Interactons and soliton interaction in the complex plane. (Interaktonen und Solitonwechselwirkungen in der komplexen Ebene.) (German) Zbl 0892.35133
Paderborn: Univ.-GHS Paderborn, FB Mathematik-Informatik, 136 S. (1997).
In dieser Arbeit werden Wechselwirkungsphänomene bei speziellen nichtlinearen, partiellen Differentialgleichungen, den sogenannten vollständig integrablen Gleichungen untersucht. Dazu wird zunächst ein kurzer Überblick über die Entwicklung dieses mathematisch-physikalischen Forschungsgebietes gegeben. Daran anschließend werden die zu untersuchenden Phänomene und grundlegende Begriffe anhand zweier Beispielgleichungen eingeführt. Im anschließenden Kapitel werden speziell \(N\)-Solitonlösungen als sogenannte \(N\)-Partikellösungen dargestellt und untersucht, inwiefern eine Aufspaltung dieser \(N\)-Partikel-Lösungen in die einzelnen wechselwirkenden, oder auch interacting Partikel möglich ist. Dieses Kapitel unterteilt sich einmal in die Untersuchung der Gleichungen, welche über einen hereditären Rekursionsoperator verfügen, bei denen eine invariante Zerlegung einer \(N\)-Solitonlösung in Termen von Eigenvektoren des hereditären Rekursionsoperators möglich ist, und andererseits in die Untersuchung von Gleichungen, welche nicht über einen hereditären Rekursionsoperator verfügen. Auch bei diesen Gleichungen ist es möglich, eine \(N\)-Solitonlösung invariant zu zerlegen. Ferner ist es möglich, die Dynamik der einzelnen Partikel einer solchen Multi-Solitonlösung unabhängig von der Ausgangslösung zu beschreiben. Im Kapitel 4 untersuchen wir die Wechselwirkungsphänomene bei Solitonkollisionen aus einem anderen Blickwinkel, indem wir die Lösungsfunktionen ins Komplexe fortsetzen und das dynamische Verhalten der Singularitäten dieser sogenannten analytischen Fortsetzungen betrachten. Dabei untersuchen wir im Abschnitt 4.1 die Dynamik der Singularitäten zweidimensional. Hierbei stellen wir fest, daß sowohl die eigentliche Solitonlösung als auch die zugehörigen interacting Solitonen bzw. Interaktonen über dieselben Singularitäten verfügen. Im Abschnitt 4.4 stellen wir dann die Dynamik der analytischen Fortsetzungen dreidimensional dar. Die Untersuchungen führen dann dazu, daß Solitonwechselwirkungen in der komplexen Ebene als Selbstwechselwirkung der zugehörigen Interaktonen interpretiert werden können.
MSC:
35Q51 Soliton equations
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
81V70 Many-body theory; quantum Hall effect
76B25 Solitary waves for incompressible inviscid fluids
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