×

Sobolev imbeddings, Weyl-Hörmander calculus and subelliptic vector fields. (Inclusions de Sobolev en calcul de Weyl-Hörmander et champs de vecteurs sous-elliptiques.) (French) Zbl 0892.35161

On considère un système \((P)=\{P_1, \dots, P_m\}\) de champs de vecteurs réels, de classe \({\mathcal C}^\infty\) sur un ouvert borné \(\Omega\) de \(\mathbb{R}^n (n\geq 2)\), satisfaisant la condition de Hörmander à l’ordre 2. On peut définir une distance sous-elliptique \(\rho\) sur \(\Omega\), qui permet d’introduire des espaces de type BMO et Hölder associé au système \((P)\).
Le but de cet article est d’établir une théorie complète des inclusions des espaces de Sobolev associés au système sous-elliptique \((P)\) dans les espaces \(L^p\) et de type BMO et Hölder. Les démonstrations sont bosées sur la construction d’un opérateur équivalent, en calcul de Weyl-Hörmander, de l’opérateur de troncature en fréquences utilisé dans certaines démonstrations des inclusions de Sobolev classiques, et aussi bien sur certaines inégalités de Poincaré dans le cadre des métriques sous-riemanniennes.

MSC:

35S05 Pseudodifferential operators as generalizations of partial differential operators
65H10 Numerical computation of solutions to systems of equations
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems

References:

[1] R. BEALS , Weighted distribution spaces and pseudodifferential operators , (Journal d’Analyse Mathématique, vol. 39, 1981 , p. 130-187). MR 83a:35105 | Zbl 0474.35089 · Zbl 0474.35089 · doi:10.1007/BF02803334
[2] J.-M. BONY , Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires , (Annales de l’École Normale Supérieure, vol. 14, 1981 , p. 209-246). Numdam | MR 84h:35177 | Zbl 0495.35024 · Zbl 0495.35024
[3] J.-M. BONY et J.-Y. CHEMIN , Espaces fonctionnels associés au calcul de Weyl-Hörmander , (Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 122, 1994 , p. 77-118). Numdam | MR 95a:35152 | Zbl 0798.35172 · Zbl 0798.35172
[4] J.-M. BONY et N. LERNER , Quantification asymptotique et microlocalisation d’ordre supérieur , (Annales de l’École Normale Supérieure, vol. 22, 1989 , p. 377-433). Numdam | MR 90k:35276 | Zbl 0753.35005 · Zbl 0753.35005
[5] C. E. CANCELIER et J.-Y. CHEMIN , Sous-ellipticité d’opérateurs integro-différentiels vérifiant le principe du maximum , (Annali della Scuola Normale di Pisa, vol. 20, 1994 , p. 299-312). Numdam | MR 94g:35237 | Zbl 0788.45007 · Zbl 0788.45007
[6] C. E. CANCELIER , J.-Y. CHEMIN et C.-J. XU , Calcul de Weyl-Hörmander et opérateurs sous-elliptiques , (Annales de l’Institut Fourier, vol. 43, 1993 , p. 1157-1178). Numdam | MR 94j:35204 | Zbl 0797.35008 · Zbl 0797.35008 · doi:10.5802/aif.1367
[7] B. FRANCHI , S. GALLOT et R. I. WHEEDEN , Sobolev and isoperimetric inequalities for degenerate metrics , (Mathematische Annalen, vol. 300, 1994 , p. 557-571). MR 96a:46066 | Zbl 0830.46027 · Zbl 0830.46027 · doi:10.1007/BF01450501
[8] M. GIAQUINTA , Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems , (Annals of Mathematical Studies, vol. 105, Princeton University Press, New Jersey, 1983 ). MR 86b:49003 | Zbl 0516.49003 · Zbl 0516.49003
[9] L. HÖRMANDER , The analysis of linear partial differential equations , tome 3, Springer Verlag, 1985 . · Zbl 0601.35001
[10] D. JERISON , The Poincaré inequality for vector fields satisfying Hörmander’s conditions . (Duke Mathematical Journal, vol. 53, 1986 , p. 503-523). Article | MR 87i:35027 | Zbl 0614.35066 · Zbl 0614.35066 · doi:10.1215/S0012-7094-86-05329-9
[11] N. LERNER , Sur les espaces de Sobolev généraux associés aux classes récentes d’opérateurs pseudo-différentiels , (Notes aux Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, vol. 289, 1979 , p. 663-666). MR 80k:47055 | Zbl 0429.35078 · Zbl 0429.35078
[12] P. MAHEUX et L. SALOFF-COSTE , Analyse sur les boules d’un opérateur sous-elliptique , (Mathematische Annalen, vol. 303, p. 713-740). MR 96m:35049 | Zbl 0836.35106 · Zbl 0836.35106 · doi:10.1007/BF01461013
[13] A. NAGEL , E. STEIN et S. WAINGER , Balls and metrics defined by vector fields I, basic properties , (Acta Mathematica, vol. 155, 1985 , p. 103-147). MR 86k:46049 | Zbl 0578.32044 · Zbl 0578.32044 · doi:10.1007/BF02392539
[14] L. ROTHSCHILD et E. STEIN , Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups , (Acta Mathematica, vol. 137, 1977 , p. 247-320). MR 55 #9171 | Zbl 0346.35030 · Zbl 0346.35030 · doi:10.1007/BF02392419
[15] A. UNTERBERGER , Oscillateur harmonique et opérateurs pseudo-différentiels , (Annales de l’Institut Fourier, vol. 29, 1979 , p. 201-221). Numdam | MR 81m:58077 | Zbl 0396.47027 · Zbl 0396.47027 · doi:10.5802/aif.758
[16] C.-J. XU , Subelliptic variational problems , (Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 118, 1990 , p. 147-169). Numdam | MR 92b:49008 | Zbl 0717.49004 · Zbl 0717.49004
[17] C.-J. XU , Semilinear subelliptic equations and Sobolev inequality for vector fields satisfying Hörmander’s condition , (Chinese Annals of Mathematics, vol. 15 A, 1994 , p. 65-72, version en anglais : Chinese Journal of Contempory Mathematics, vol. 15, 1994 , p. 34-40). Zbl 0816.35015 · Zbl 0816.35015
[18] C.-J. XU et X. ZHU , On the inverse of a class of degenerate elliptic operators , à paraître dans (Chinese Annals of Mathematics). · Zbl 1019.35502
[19] C.-J. XU et C. ZUILY , Higher interior regularity for quasilinear subelliptic systems , (Calculus of variations and partial differential equations, vol. 5, 1997 , p. 323-343). MR 98e:35039 | Zbl 0902.35019 · Zbl 0902.35019 · doi:10.1007/s005260050069
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.