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Sur une représentation géométrique des covariants des formes binaires. (French) JFM 09.0081.03
Die typische Darstellung einer binären Form von einem Grade \(2n\) durch drei quadritische Covarianten benutzt Herr Lindemann dazu, die binären Formen in der Ebene geometrisch darzustellen, indem er die \(2n\) Wurzeln durch \(2n\) Punkte eines Kegelschnitts repräsentirt.
Die drei quadratischen Formen \( k^2_\xi, l^2_\xi, m^2_\xi \), führen zu einer Transformation \[ x_1:x_2:x_3= k^2_\xi:l^2_\xi:m^2_\xi, \] die einen Kegelschnitt \(F\) der \(x\)-Ebene bestimmt; und jeder binären Form \(a^{2n}_\xi\) entspricht hierbei der Schnitt von \(F\) mit einer Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung\(\alpha_x^n\), von folgenden Eigenschaften:
Es giebt unendlich viele Polardreiecke von \(F\), welche einem beliebigen der Polarkegelschnitte von \(\alpha_x^n\) eingeschrieben sind. Hierduch ist \(\alpha_x^n\) schon definirt und liefert für \(n=x\) z. B. die specielle Curve \(4^{\text{ter}}\) Ordnung, welche als Summe von fünf vierten Potenzen darstellbar ist. Ferner führt jede Polare \(a_\xi^{2n-2r}a_\xi^{2r}\) auf eine Polarea \(^{n-r}_x\alpha_z^r\), wo \(x, z\) Punkte von \(F\) sind; überhaupt, jede Form des Systems \(a^{2n}_\xi\) auf eine simultane Form von \(F\) und \(\alpha^n\).
Aus den Anwendungen führen wir noch einen Satz an:
Den Null-Punkten der Hesse’schen Form von \(a^4_\xi\) entsprechen auf \(F\) die Berührungspunkte der vier Tangnten, welche \(F\) und \(a^2_x\) gemeinsam haben.

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Full Text: DOI Numdam EuDML