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On series expansions of quadratic irrationalities and their natural logarithms. (Sur les développements en séries des irrationnelles du second degré et de leurs logarithmes népériens.) (French) JFM 09.0114.03
Der Herr Verfasser benutzt die von ihm eingeschlagene Betrachtungsweise (vergl. F. d. M. VIII. 81 (JFM 08.0081.01), sowie das folgende Referat ( JFM 09.0115.02)) zur Ableitung einer grossen Reihe von Formeln, bei denen die Wiedergabe selbst der wichtigsten hier unmöglich ist. Er setzt \[ P=a+b, Q=ab;\quad U_n=(a^n-b^n):(a-b),\quad V_n= a^n-b^n \] und findet, wenn \(\root\of{-1}\) mit \(i\) bezeichnet wird, \[ V_n=2Q^{\frac{n}{2}}\text{cos}\left(\frac{ni}{2}\text{log}\frac{a}{b}\right), \quad U_n=\frac{2}{i(a-b)}Q^{\frac{n}{2}}\text{sin}\left(\frac{ni}{2} \text{log}\frac{a}{b}\right). \] Es sind also \(U_n\), \(V_n\) identisch mit den hyperbolischen Functionen, und diese Identität liefert aus den für jene Functionen bekannten die grosse Menge der neuen abgeleiteten Formeln.
MSC:
11B39 Fibonacci and Lucas numbers and polynomials and generalizations
33B10 Exponential and trigonometric functions
Keywords:
Lucas number
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Full Text: DOI Numdam EuDML