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On a recurrence relation concerning sums of divisors of integers. (Sur une formule récurrente concernant les sommes des diviseurs des nombres entries.) (French) JFM 09.0119.02
Bedeutet \(S(n)\) die Summe der Divisoren der Zahl \(n\), so ist \(S(n)=S(n-1)-5 S(n-3)+7S(n-6)+\cdots\) \[ (-1)^{x+1}(2x+1)S\left[n-\frac{x(x+1)}{2}\right]+\cdots. \] Die Reihe muss bis zu demjenigen letzten Gliede forgesetzt werden, für welches \(n-\frac{x(x-1)}{2}\) noch eine positive Zahl giebt. In dem Falle, wenn \(n\) von den Form \(\frac{x(x+1)}{2}\) ist, wird das letzte Glied \((2x+1)S(0)\) durch \(\frac{(2x+1)x(x+1)}{6}\) ersetzt. Der Verfasser hat diese rekurrente Reihe aus der Jacobi’schen Formel (Fund. nova §66) \[ P^3=\sum_{x=0}^{x=\infty}(-1)^x(2x+1)z\frac{x(x+1)}{2}, \] in welcher \(P\) für das unendliche Product \(\overset{\infty}{\prod}(1-z^h)\) gesetzt ist, durch logarithmische Differentiation abgeleitet. Auf demselben Wege hat Euler (Commentat. Arithmet. collectae I. 146 und 234, II. 639) aus der Reihenetwickelung für die Summe der Divisoren gefunden.
MSC:
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11A05 Multiplicative structure; Euclidean algorithm; greatest common divisors
11P82 Analytic theory of partitions
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Full Text: DOI Numdam