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On the theory of algebraic integers. (Sur la théorie des nombres entiers algébriques.) (French) JFM 09.0126.01
Darboux Bull. (2) I, 17-41 (1877); I, 69-92, 114-164, 207-248 (1877); Auch Separat-Abdruck. Paris. Gauthier-Villars (1877).
Der erste Abschnitt der vorliegenden Arbeit enthält als Hülfsmittel für die folgenden Untersuchungen eine Theorie der Moduln. Ein System \(\mathfrak a\) reellen oder complexer Zahlen heisst ein \(Modul\), wenn alle Summen und Differenzen dieser Zahlen wieder \(\mathfrak a\) angehören. Sind alle Zahlen des Modul \(\mathfrak a\) unter denen des Modul \(\mathfrak b\) enthalten, so heisst \(\mathfrak b\) ein \(Theiler\) von \(\mathfrak a\). Alle Zahlen, welche \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) gleichzeitig enthalten, bilden das \(kleinste\;gemeinsame\;Vielfache\) von \(\mathfrak a, \mathfrak b\); alle Zahlen \(\alpha+\beta\), wo \(\alpha,\beta\) alle Zahlen von \(\mathfrak a, \mathfrak b\) durchlaufen; den grössten gemeinsamen Theiler von \(a\), \(b\). Diese Definitionen entsprechen den gewöhnlichen, falls man statt der reellen Zahl \(x\) den Modul \(0, \pm x, \pm2x, \ldots\) betrachtet. In beiden Fällen stimmen auch die Definitionen der \(Congruenz\;\omega\equiv\omega'\) (mod. \(\mathfrak a\)) und des \(vollst\ddot andigen\;Restsystem\;des\;Modul\;b\;nach\;a\) überein. Der wichstige Fall der Moduln ist der, dass jede Zahl \(\beta\) desselben in die Form \(y_1\beta_1+y_2\beta_2+\cdots+y_n\beta_n\) gebracht werden kann, wo die \(\beta\) feste Elemente, \(y_1,\ldots y_n\) beliebige rationale ganze Zahlen sind; ein solcher Modul wird mit \([\beta_1, \beta_2,\ldots\beta_n]\) bezeichnet. Kann \(\beta\) nicht =0 werden, ohne dass alle \(\beta_\lambda\) verschwinden, so bildet die \(Basis \beta_1, \beta_2, \ldots\beta_n\) ein \(irreductibles\) System. Von besonderer Wichtigkeit sind die Beziehungen, welche zwischen verschiedenen Basen desselben Moduls oder zwischen der eines Moduls \(\mathfrak a\) und der eines ihn theilenden Moduls \(\mathfrak b\) stattfinden. Bildet eine Basis ein reductibles System, so lässt sich aus ihr eine irreductible Basis für denselben Modul ableiten.
An der Theorie der ganzen Zahlen von der Form \(\omega=(1, \root\of{-5})=x+y\root\of{-5}\) wird im zweiten Abschnitte die Nothwendigkeit der Einführung idealer Primzahlen gezeigt. In diesem Gebiete versagt der Algorithmus der Aufsuchung der grössten gemeinsamen Theilers zweier Zahlen; daher kommt es, dass trotz der Unzerlegbarkeit der Zahlen 2, 3, 7 in ganzzahlige Factoren von der Form \(\omega=x+y\root\of{-5}\), die Producte 2.3, 3.7, 7.2 doch in Factoren zerlegt werden können, die von 2, 3, 7 verschieden sind. Hierbei tritt 2 auf, als ob es das Quadrat einer \(idealen\;Primzahl\;\alpha\) wäre; 3 und 5, als ob sie aus je zwei verschiedenen idealen Primfactoren beständen. Da die Bedingungen der Theilbarkeit einer Zahl \(\omega\) durch eine solche ideale Primzahl unabhängig von ihr durch eine Congruenz zwischen \(x\) und \(y\) ausgedrückt werden kann, so ist möglich, die sämmtlichen durch eine und dieselbe ideale Primzahl theilbaren wirklichen Zahlen aufzustellen und eine Definition des so erlangten Systems, welches \(Ideal\) genannt wird, zu geben. Seine charakteristischen Merkmale sind: die Summen und Differenzen der Zahlen des Systems gehören wieder zu demselben; ebenso das Product einer Zahl des Systems mit einer beliebigen \(x+y\root\of{-5}\). In unserem Falle erscheinen alle Ideale \(\mathfrak m\) als Moduln von den Form \(\mathfrak m=[ma, m(b+\root\of{-5}]\), und dadurch kann man rechnend nachweisen, dass für diese Ideale die gewöhnlichen Regeln über die Zerlegbarkeit bestehen, so dass z. B. das Ideal \([2]=0,\pm2,\pm4,\ldots\) als Quadrat eines Ideals \([2, 1+\root\of{-5}]\) erscheint.
Der dritte Abschnitt behandelt die allgemeinen Eigenschaften der algebraischen ganzen Zahlen. \(\varTheta\) ist eine \(algebraische\;Zahl\), wenn es einer Gleichung \[ (1)\quad \varTheta^n+a_1\varTheta^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\varTheta^1+a_n=0 \] von endlichem Grade \(n\) mit rationalen Coefficienten genügt; \(\varTheta\) ist algebraisch ganz, wenn die \(a_\lambda\) rationale ganze Zahlen sind; daraus folgt, dass \(\varTheta\) auch dann noch ganz ist, wenn die \(a_\lambda\) algebraisch ganz sind. Die algebraischen ganzen Zahlen reproduciren sich durch Addition, Substration und Multiplication. Der Begriff einer Primzahl existirt im Gebiete derselben nicht, da mit \(\varTheta\) auch die durch \(\varTheta=\omega^2\) definirte Zahl \(\omega\) im Gebiete vorkommt. Aus diesem Grunde wird die Untersuchung auf \(endliche\;K\ddot orper\;\varOmega\) beschränkt. Ein solcher umfasst alle Zahlen \[ \omega=x_0+x_1\varTheta+\cdots+x_{n-1}\varTheta^{n-1}, \] wo \(\varTheta\) die Wurzel einer irreductiblen Gleichung von der Form (1) ist, während die \(x_\lambda\) ganze oder gebrochene rationale Zahlen bedeuten. \(1, \varTheta, \varTheta^2, \ldots \varTheta^{n-1}\) oder \(\omega_1=\varphi_1(\varTheta)\ldots\omega_n=\varphi_n(\varTheta)\), falls letztere ein irreductibles System bilden, heissen die \(Basis\) des Körpers. Jede Zahl \(\omega\) desselben genügt einer Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades von der Form (1). Sind die Zahlen der Basis \(\omega_1, \omega_2, \ldots \omega_n\) sämmtlich ganze algebraische Zahlen, so wird jede Zahl des Moduls \([\omega_1, \omega_2, \ldots \omega_n]\) gleichfalls eine ganze algebraische Zahl; aber umgekehert ist es nicht nöthig, dass jede ganze Zahl des Systems sich durch ganzzahlige \(h_1, h_2, \ldots h_n\) in der Form \[ h_1\omega_1+h_2\omega_2+\cdots+h_n\omega_n \] ausdrücken lasse. Hier gilt aber der Hauptsatz der Theorie, dass es stets eine ganz bestimmte Basis \(\beta_1, \beta_2, \ldots \beta_n\) giebt, welche alle ganzen Zahlen auch in ganzer Form liefert, so dass die Gesammtheit \(\mathfrak o\) der ganzen Zahlen des endlichen Körpers \(\varOmega\) mit dem endlichen Modul \([\beta_1, \beta_2, \ldots \beta_n]\) identisch ist. – Aus die allgemeine Theorie folgt als Beispiel die Behandlung quadratischer Körper.
Nach diesen Vorbereitungen können die Elemente der Theorie der Ideale im vierten Abschnitt entwickelt werden. \(\varOmega\) sei ein endlicher Körper, \(\mathfrak o\) das Gebiet aller ganzen Zahlen \(\omega\) desselben; dann bildet jedes System \(\mathfrak a\) von Zahlen \(\alpha\) aus \(\mathfrak o\) ein \(Ideal\), wenn es sich durch Addition und Subtraction reproducirt und wenn alle Producte \(\alpha\omega\) wieder dem Systeme \(\mathfrak a\) angehören. So bilden z. B. alle durch \(\beta\) theilbaren Zahlen \(\beta\omega\) ein Ideal, welches \(Hauptideal\) heisst. Da oben nachgewiesen wurde, dass \(\mathfrak o\) ein Modul ist, so findet dasselbe mit \(\mathfrak a\) statt, und die Definitionen der theilbarkeit können unmittelbar übertragen werden. Unter dem \(Producte \mathfrak a.\mathfrak b\) zweier Moduln \(\mathfrak a, \mathfrak b\) versteht man alle Zahlen \(\sum\alpha\beta\); es ist leicht zu sehen, das diese Definition mit denen der Theilbarkeit, des grössten gemeinsamen Theilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen übereinstimmt. Nennt man jetzt \(\mathfrak p\) ein \(Primideal\), wenn es von \(\mathfrak o\) verschieden ist und nur \(\mathfrak o\) und \(\mathfrak p\) als theiler hat, so folgt ohne Schwierigkeit eine Reihe von Sätzen, die mit denen der gewöhnlichen Zahlentheorie identisch sind: Jedes von \(\mathfrak o\) verschiedene Ideal \(\mathfrak a\) ist durch mindestens ein Primideal theilbar; ist keine der Zahlen \(\eta\) und \(\rho\) (d. h. ist keins der Hauptideale \(\mathfrak o\eta\) und \(\mathfrak o\rho\)) durch \(\mathfrak p\) theilbar, so ist auch \(\eta\rho\) nicht durch \(\mathfrak p\) theilbar; die Anzahl der incongruenten Klassen von \(\mathfrak o (\text{mod}. \mathfrak p)\) ist gleich einer Potenz der kleinsten in \(\mathfrak p\) enthaltenen reellen Primzahl \(p\), also \(=p^\operatorname{Im}; \operatorname{Im}\) heisst der \(Grad, p^\operatorname{Im}=N(\mathfrak p)\) die \(Norm\) des Primideals; u. s. w. Für den Beweis des Hauptsatzes aber: dass, wenn ein Ideal \(\mathfrak a\) durch ein anderes \(\mathfrak b\) theilbar ist, es stets ein einziges drittes \(\mathfrak c\) giebt, welches der Gleichung \(\mathfrak a=\mathfrak b\mathfrak c\) genügt und für welches \(N(\mathfrak a)=N(\mathfrak b)N(\mathfrak c)\) ist – reichen jene Betrachtungen nicht aus. Denn alle obigen Sätze gelten auch für jedes System, welches alle rationalen Zahlen enthält, ein endlicher Modul ist und sich durch Multiplication reproducirt; jener letzte Hauptsatz jedoch nicht. Man muss daher auf die Eigenschaft unseres Systems \(\mathfrak o\), dass es alle ganzen Zahlen enthält d. h. alle durch Gleichungen von der Form \(\eta^\lambda+\omega_1\eta^{\lambda-1}+\cdots+\omega_\lambda=0\) definirte, eingehen und kann erst daraus den gesuchten Beweis schöpen. Die Betrachtung der Congruenz im Körper \(\varOmega\) liefert die Anzahl der zu einem Ideale \(\mathfrak a\) relativen Primzahlen, den erweiterten Fermat’schen Satz, sowie das folgende wichtige Theorem: Jedes Ideal \(\mathfrak b\) ist einem Hauptideale \(\mathfrak o\eta\) nach einem beliebigen andern Ideale congruent, also \(\mathfrak b=\mathfrak o\eta (\text{mod}. \mathfrak a)\). Es folgt nun als Beispiel die Behandlung der Kreistheilungsgleichung, in welcher der Herr Verfasser weitere Gesichtspunkte für tiefer liegende Untersuchungen eröffnet. Die letzten Paragraphen sind den Idealklassen, ihrer Definition, ihren Haupteigenschaften und der Endlichkeit ihrer Anzahl gewidmet. Den Schluss bildet der Beweis des Satzes, dass der grösste gemeinsame Theiler zweier ganzen algebraischen Zahlen \(\delta\) in der Form \(\delta=\alpha\alpha'+\beta\beta'\) darstellbar ist, wo \(\alpha'\) und \(\beta'\) gleichfalls algebraische ganze Zahlen sind.

MSC:
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
11R21 Other number fields
11R18 Cyclotomic extensions
11R99 Algebraic number theory: global fields
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Full Text: EuDML