On positive quadratic forms. (Sur les formes quadratiques positives.) (French) JFM 09.0139.01

Korkine, A.; Zolotarev, G.

Clebsch Ann. 11, 242-292 (1877).

Die Frage nach der oberen Grenze für die Minima positiver quadratischer Formen von \(n\) Variabeln und gegebener Determinante, welche die Verfasser in einem früheren Aufsatze (Clebsch Ann. 6, 366–389; JFM 05.0109.01) insoweit beantwortet haben, als sie eine obere Grenze angaben, die aber nur für \(n\leqq4\) erreicht wird, dagegen schon bei Formen von 5 Variabeln sich als zu gross erweist, wird hier von einem neuen Gesichtspunkte aus in Angriff genommen, in Folge dessen ihre vollständige Erledigung auch für die letzteren ermöglich wird.
Versecht man unter einer extremen Form eine solche, deren Minimum durch unendlich kleine Variationen der Coefficienten bei constanter Determinante stets verringert wird, so reducirt sich die Aufgabe der Bestimmung der genauen Grenze der Minima positiver quadratischer Formen mit gegebener Anzahl Variabeln und gegebener Determinante auf die Aufsuchung derjenigen extremen Form unter ihnen, die das grösste Minimum besitzt.
Es wird bewiesen, dass folgende Formen von der Determinante \(-D\): \[ \begin{aligned} U_n = 2 & \root{n}\of{\frac{D}{n+1}}[x_1^2+\cdots+x_n^2+x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n], \\ V_n = & \root{^n}\of{2^{n-2}D}[x_1^2+\cdots+x_n^2+x_1x_3+x_1x_4+\cdots+ x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n], \\ Z = & \root{5}\of{\frac{2^9}{3^4}D}[x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2-\frac{1}{2}x_1x_2-\frac{1}{2}x_1x_3-\frac{1}{2}x_1x_4 \\ & -\frac{1}{2}x_1x_5+\frac{1}{2}x_2x_3+\frac{1}{2}x_2x_4-x_2x_5+\frac{1}{2}x_3x_4-x_3x_5-x_4x_5] \end{aligned} \] extreme Formen sind nach einer Methode, die sich überall anwenden lässt, wenn entschieden werden soll, ob eine gegebene Form extrem ist oder nicht.
Um die extremen Formen bei gegebener Anzahl \(n\) der Veränderlichen und gegebener Determinante \(-D\) zu bestimmen, wird zunächst Folgendes bewiesen: 1) Jede extreme Form hat wenigstens \(\frac{n(n+1)}{2}\) Darstellungen ihres Minimums, welche diese Form vollständig bestimmen, wenn das Minimum gegeben ist. Als Zusatz fliesst hieraus: die Coefficienten einer extremen Form, dividirt durch das Minimum, sind rationale Zahlen. 2) Für jede extreme Form existirt weningstens eine charakteristische Determinante, welche nicht verschwindet; unter charakteristischer Determinante eine aus irgend \(n\) Darstellungen des Minimums gebildete verstanden. 3) Ist die Anzahl der Darstellungen des Minimums irgend einer positiven Form \(\overset{=}>n\), so haben die Absoluten Werthe ihrer charakteristischen Determinanten eine obere Grenze, die nur von der Zahl \(n\) der Variabeln anhängt; für \(n=2, 3\) ist sie gleich 1, für \(n=4, 5\) gleich 2. 4) Bildet man eine Tafel von mehr als \(\frac{1}{2}n(n+1)\) verschiedenen Werthesystemen der Variabeln als ihren Linien (hierbei gilt \(-p_1,\ldots p_n\) als von \(p_1,\ldots p_n\) nicht verschiedenen), und sind sämmtliche aus je \(n\) dieser Linien gebildete Determinanten dem absoluten Betrage nach \(\leqq1\), aber wenigstens eine unter ihnen \(=\pm1\), so enthält die Tafel genau \(\frac{1}{2}n(n+1)\) Linien und kann stets in eine äquivalente Tafel transformirt werden, die aus \(n\) Linien vom Typus \(1 0 \ldots 0\) und aus \(\frac{1}{2}n(n+1)\) Linien vom Typus \(1 -1 0 \ldots 0\) besteht; unter äquivalenten Tafeln solche verstanden, die durch unimodulare Transformationen der Variabeln in einander übergehen.
Auf Grund dieser Sätze ergiebt sich dann, wenn man alle einander äquivalenten extremen Formen als eine einzige ansieht: Es giebt nur eine extreme Form \(U_n\) von \(n\) Variabeln und gegebenen Determinante \(-D\), deren charakteristische Determinanten sämmtlich \(=0, \pm1\) sind; daher überhaupt nur je eine binäre und ternäre extreme Form, \(U_2\) resp. \(U_3\).
Für \(n=4, 5\) sind ausser den obigen noch andere Betrachtungen über die das Minimum repräsentirenden Werthesysteme erforderlich, da in diesen Fällen die charakteristischen Determinanten auch gleich \(\pm2\) werden können; dieselben führen zu folgenden Resultaten: Es giebt nur zwei quaternäre extreme Formen \(V_4\) und \(U_4\); und hieraus folgt, wie die Verfasser schon früher (l. c.) bewiesen haben, von Neuem, dass \(\root{4}\of{4D}\) die genaue Grenze der Minima quaternärer Formen mit der Determinante \(-D\) ist. Ferner: Bei gegebener Determinante \(-D\) giebt es unter den Formen mit 5 Variabeln nur 3 extreme: \(U_5, V_5, Z\); da unter diesen \(V_5\) das grösste Minimum, \(\root{5}\of{8D}\), hat, so ergiebt sich als Schlussresultat der Abhandlung, dass \(\root{5}\of{8D}\) die genaue Grenze der Minima der Formen mit 5 Variabeln und der Determinante \(-D\) ist.

Reviewer: Toeplitz, Dr. (Breslau)

MSC:

11H50	Minima of forms
11H55	Quadratic forms (reduction theory, extreme forms, etc.)

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Zahlentheorie. Capitel 2. Theorie der Formen.

Keywords:

Positive definite quadratic form; Minimum; Extreme form; Geometry of numbers

Citations:

JFM 05.0109.01