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Proof of the periodicity of continued fractions, generated by roots of second degree equations. (Démonstration de la périodicité des fractions continues, engendrées par les racines d’une équation du deuxième degré.) (French) JFM 09.0143.03

Die gegebene Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten sei \(ax^2+bx+c=0\); die reelle, positive Wurzel \(x\) denken wir uns in Form eines Kettenbruches dargestellt. Setzt man dann \[ x=\frac{Py+P'}{Qy+Q'}, \] wo \(P, Q, y\) in der bekannten Bezeichnung gebraucht sind, so geht die vorige Gleichung in diese über: \(a'y^2+b'y+c'=0\); nummehr wird gezeigt, dass \(a', b', c'\) ihrem absoluten Werthe nach gewisse Zahlen \(A, B, C\) nicht übersteigen können. Hierauf folgt, dass wenn man in der angegebenen Weise fortfahrend immer neue Gleichungen der Form \(a^{(n)}u^2+b^{(n)}u+c^{(n)}=0\) bildet, bei irgend einem \(n\) die Coefficienten mit früher erhaltenen übereinstimmen müssen.

MSC:

11A55 Continued fractions
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