The general term of a series determined by recurrence relations. (Terme général d’une série quelconque déterminée à la façon des séries récurrentes.) (French) JFM 09.0170.01

André, D.

Darboux Bull. (2) I, 350-356 (1877).

Das Problem wird in allgemeinster Weise gefasst und lautet: Es seien \(U_1\; U_2\ldots\) die Glieder der Reihe, und \(U_n\) sei mit den vorhergehenden Gliedern durch die Gleichung \[ U_n=u_n+\sum_1^{\lambda_n} {}_k A_k^{(n)} U_{n-k} \] verbunden, wo \(u_n\) eine bekannte Function von \(n,\;\lambda_n\) eine von \(n\) bahängige ganze Zahl \(\leqq n-1,\;A_k^{(n)}\) eine bekannte Function von \(n\) und \(k\) bezeichnet; es soll das allgemeine Glied bestimmt werden. Der Verfasser giebt ohne Beweis als Resultat die Formel: \[ U_n=\sum_1^n {}_p \psi (n,p)u_p, \] wo \[ \psi (n,p)=\sum A_{k_1}^{(n_1)} A_{k_2}^{(n_2)}A_{k_3}^{(n_3)}\dotsm , \] und die letztere Summe sich auf alle möglichen Systeme der ganzzahligen Werthe \(n_1.n_2\ldots k_1,\; k_2\ldots\) erstreckt, die den Bedingungen genügen \[ k_1+k_2+\dotsm =n-p,\quad n_1=k_1+p, \quad n_t=k_t+u_t-1, \quad =<k_t\leqq \lambda_{n_t}. \] Es kann nun eintreten, dass \(A_n^{(n)}\) von \(n\) oder \(k\) abhängt oder nicht abhängt, und ebenso \(\lambda_n\) und \(n\) variirt oder nicht. Die Combination dieser Möglichkeiten ergiebt 8 verschiedene Fälle, welche gesondert betrachtet werden.

Reviewer: Hamburger, Dr. (Berlin)

MSC:

11B37

Recurrences

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Series; recurrence relations