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Note on a summation formula for a class of series. (Note sur une formule de sommation applicable à une classe de séries.) (French) JFM 09.0170.02
Der Verfasser leitet folgende Formeln ab: Es sei \[ F(z)=\sum_{n=m}^{n=M} z^n f(n) \] eine nach ganzen wachsenden Potenzen von \(z\) geordnete Reihe, und es bedeute \(\varphi (\mu )\) eine beliebige Function des ganzzahligen Arguments \(\mu\) mit der Periode \(p\), so dass \(\varphi (h+kp)=\varphi (h)\), wo \(h\) und \(k\) ganze Zahlen, so besteht die Identität: \[ (1)\quad \sum_{n=m}^{n=M} z^n f(n)\varphi (n) =\frac 1p \sum_{\nu =\mu}^{\nu =\mu +p-1} \left[ \varphi (\nu ) \sum_{\alpha} \frac {F(\alpha z)}{\alpha^{\nu}} \right] , \] wo die zweite Summe auf der rechten Seite sich auf alle Wurzeln \(\alpha\) der Gleichung \(x^p=1\) erstreckt. In dem besinderen Falle, dass \(\varphi (\mu )\), indem \(\mu\) eine Reihe von \(p\) aufeinanderfolgenden Zahlen durchläuft, für eine derselben gleich 1, für die übrigen gleich Null wird, und diese Zahl innerhalb des Intervalls \(n=m,\; n=M\) nur ein einziges Mal vorkommt, erhält man \[ z^{\mu} f(\mu )=\frac 1p \sum \frac {F(\alpha z)}{\alpha^{\mu}}. \] Man erkennt leicht, wie für \(p=\infty\) diese Formel in die bekannte Cauchy’sche übergeht, durch welche der Coefficient von \(z^{\mu}\) in der Entwickelung einer Function \(F(z)\) nach ganzen Potenzen von \(z\) bestimmt wird.
Die Formel (1) wendet der Verfasser auf die Summation einer Klasse von trigonometrischen Reihen an, deren allgemeines Glied \(\frac {n^{p-q}\sin nx}{n^p\pm y^p}\) ist, wo \(p\) eine positive grade, \(q\) eine positive ungrade Zahl \(<p\) ist, \(x\) reell zwischen 0 und \(2\pi,\; y\) eine beliebige Grösse, deren mod.<1 ist. Es ergiebt sich \[ \sum_{n=1}^{n=\infty} \frac {n^{p-q}\sin nx}{n^p\pm y^p}=\pm\frac {\pi}{py^{q-1}} \sum \frac {\alpha^{p-q+1}e^{\alpha (x-\pi )y}}{e^{-\alpha\pi y}-e^{\alpha\pi y}}, \] wo links das positive oder negative Zeichen steht, je nachdem \(p\) durch 4 theilbar oder nicht, und rechts, je nachdem \(q\) von der Form \(4r+1\) oder \(4r-1\) ist.
Für \(p=2,\; q=1\) geht sie über in die von Euler gegebene Formel \[ \sum\frac {n\sin nx}{n^2+y^2}=\frac {\pi}2 \frac {e^{(\pi -x)y}-e^{(x-\pi )y}}{e^{\pi y}-e^{-\pi y}}. \]

MSC:
40A25 Approximation to limiting values (summation of series, etc.)
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Full Text: DOI Numdam EuDML