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La théorie des formes dans l’intégration des équations différentielles linéaires du second ordre. (French) JFM 09.0238.01
Clebsch Ann. XI, 401-412 (1877); Rend. Ist. Lomb. (2) X, 48-58 (1877).
Wenn die lineare Differentialgleichung \(2^{\text{ter}}\) Ordnung \[ \frac{d^z}{dx^2}=P.z \quad(P\text{ rationale Function von} x) \] lauter algebraische Integrale hat, so existiren, wie Herr Fuchs (Borchardt J. LXXXI. p.97 ff. F. d. M. VII. 172, JFM 07.0172.01) bewiesen hat, gewisse ganze homogene Functionen \(f(z_1,z_2)\) (unter \(z_1,z_2\) zwei unabhängige Partikularlösungen verstanden), die Wurzeln einer rationalen Function von \(x\) sind. Für die Form \(f\) (Primform) hat Herr Fuchs in der citirten wichtigen Arbeit gewisse Bedingungen ausgestellt, u. A. die, dass die Ordnung der niedersten Primformen die Zahl 12 nicht übersteigen kann. Zweck der vorliegenden Arbeit ist die Vervollständigung des Studums der Primformen betreffs ihrer Covarianten und Invarianten. Vermittelst der von Hermite eingeführten “associirten Covarianten” beweist der Herr Verfasser zunächst den Satz, dass eine beliebige Invariante \(J m^{\text{ten}}\) Grades der Form \[ f(z_1 z_2)=\varphi(x), \] wo \(\varphi(x)\) die Wurzel einer rationalen Functionvon \(x\) ist, gleich ist der \(m^{\text{ten}}\) Potenz von \(\varphi\) mit einer rationalen Function von \(x\). Daraus folgt, dass, wenn \(\varphi^m\) nicht eine rationale Function von \(x\) sein kann, \(J\) verschwinden muss. Ferner wird gezeigt, dass, wenn \(y\) durch die Gleichung \[ (1)\quad h(z_1 z_2)+yf^{2\frac{n-2}{n}}(z_1 z_2)=0, \] wo \(h=\frac12(ff)^2\) (die Hesse’sche Covariante), definirt wird, jede Covariante von der Ordnung \(i\) der Primform \(f\) als ganze rationale Function von \(y\) und dessen Differentialquotenten in Beziehung auf \(\omega\) multiplicirt mit \(\varphi^{\frac{i}{n}}\) ausgedrückt werden kann; hierbei ist \(\omega\) durch die Gleichung \(d \omega =c\frac{dx}{\varphi^{\frac{2}{n}}}\) definirt. Ist die betreffende Covariante oder Invariante (wenn nämlich \(i=0\)), identisch Null, so erhält man für \(y\) eine Differentialgleichung. Gelingt es, aus dieser \(y\) als Function von \(\omega\) oder von \(x\) zu bestimmen, so hat man in (1) das Integral der von Herrn Kummer (Crelle J. XV.) betrachteten Differentialgleichung \(3^{\text{ter}}\) Ordnung. Andererseits besteht die Gleichung \[ y=-\frac{\varphi^{\frac{4}{n}}}{n^2(n-1)c^2} (\psi^2+n\psi'-n^2P). \] wo \[ \psi=\frac{d\log{}\varphi}{dx}, \] aus welcher für ein gegebenes \(\varphi\) das entsprechende \(P\) abgeleitet wird. Das anzuwendende Verfahren wird für den Fall, dass die Covariante \(2^{\text{ten}}\) Grades und \(2(n-4)^{\text{ter}}\) Ordnung \((ff)^4\) identisch verschwindet, durchgeführt, und dabei gefunden, dass \(\varphi^{\frac{12}{n}}\) eine rationale Function \(\varrho(x)\) sein muss. Indem alsdann angenommen wird, dass \(\varrho(x)\) sich in der Form \[ \varrho(x)=\delta x^r(1-x)^{s-r} \] darstellen lässt, wo \(\varrho\) constant und \(r\) und \(s\) positive ganze Zahlen sind, werden alle entsprechenden Functionen \(t(x)\) bestimmt, welche mit der oben definirten \(y\) in einfachem Zusammenhang stehen. Hierbei ergeben sich für die zugehörigen Werthe von \(P\) sämmtliche Typen, die Herr Schwarz (Borchardt J. LXXV. p. 323) aufgestellt hat bis auf die Typen XII.,XIV.,XV., die anderen Ausdrücken von \(\varrho(x)\) entsprechen müssen.

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