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On the approximation of functions of one variable by rational fractions. (Sur l’approximation des fonctions d’une variable au moyen de fractions rationnelles.) (French) JFM 09.0308.03
Das hier angewendete Princip besteht in Folgendem. Ist \(F(x)\) eine gegebene Function und \( \frac {\varphi (x)} {f(x)} \) der dem Werthe der Function am meisten sich nähernde rationale Bruch, dessen Nenner von einem gegebenen Grade ist, so sucht man zwischen \( \varphi(x), f(x)\) und deren Ableitungen der ersten Ordnung eine algebraische Relation herzuleiten, die in Bezug auf eine der beiden Functionen, z. B. \(\varphi(x)\), und in Bezug auf deren Ableitung linear ist. Betrachtet man alsdann für einen Augenblick \( f(x) \) als bekannt und \(\varphi(x)\) als unbekannt, so hat man eine lineare Differentialgleichung der ersten Ordnung, die sich mittelst Quadraturen integriren lässt. Da nun das Resultat der Integration von vornherein bekannt ist, so genügt es anzugeben, welchen Bedingungen \(f(x)\) genügen muss, damit das Resultat die gewünschte Form habe. Im Allgemeinen wird man auf diese Weise eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung bestimmen, welcher das Polynom \(F(x)\) genügen wird ; diese Gleichung lässt eine zweite Lösung zu, die leicht durch \(\varphi(x)\) ausgedrück wird, oder auch durch \(R\), wenn man \[ f(x) F(x) = \varphi(x)+R \] setzt, wie es Herr Christoffel (Crelle J. LV.) für die Legendre,schen Polynome gethan hat.
Diese Methode wird nun angewendet auf die Entwickelung von \( \frac {1} {\sqrt{x^2-1}},\;\; \left( \frac {x+a}{x+b} \right)^m\) und \(e^{F(x)}\). Sie lässt sich weiter ohne Schwierigkeiten anwenden auf Functionen von der Form \(e^W\), wo \(W\) irgend eine rationale Function ist, und auf Functionen von der Form \[ (ax+b)^{\alpha} (a'x+b')^{\alpha'}+\cdots , \] wo die \(\alpha\) und \(a\) beliebige Grössen bezeichnen.

MSC:
41A20 Approximation by rational functions
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Full Text: DOI Numdam EuDML