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On approximate expressions which are linear with respect to two polynomials. (Sur les expressions approchées, linéaires par rapport à deux polynômes.) (French) JFM 09.0314.03

Eine Uebersetzung der in den Mém. de St.-Pétersbourg 30, Supplément, veröffentlichten Abchandlung. Diese betrifft folgendes Problem. Entwickelt man eine Function \(u\) in einen Kettenbruch \[ q_0+\frac{1}{q_1+\frac{1}{q_2+\cdots,}} \] und bezeichnet seine convergenten Partialbrüche mit \[ \frac {P_1} {Q_1}= \frac {q_0}{1},\quad \frac {P_2}{Q_2}={q_1q_0+1} {q_1},\cdots, \] so kann man die Werthe der Polynome \(X,Y\) finden, für welche der Ausdruck \[ uX-Y \] so wenig wie möglich von einer gegebenen Function \(v\) sich unterscheidet. Man vergleiche des Verfassers frühere Abhandlungen in Liouville J. (2) X. und Mém. de St.-Pétersbourg IX.1866; auch Mém. de St.-Pétersbourg XII. 1867. Dort ist gezeigt, dass di Polynome \(X,Y\) sich als Reihen von der Form \[ \begin{aligned} & X=\omega_1Q_1+\omega_2Q_2+\omega_3Q_3+\cdots,\\ & Y=-E\nu+\omega_1P_1+\omega_2P_2+\omega_3P_3+\cdots \end{aligned} \] darstellen lassen, wo mit \(E\) der ganze Theil einer Function und mit \(\omega_1,\omega_2,\omega_3,\ldots\) ganze Functionen bezeichnet werden, die man mittelst des Werthes der Function \(v\) und der Nenner \[ Q_1,Q_2,Q_3,\ldots q_1,q_2,q_3,\ldots \] durch die Formel \[ \omega_i=(-1)^{i-1} E[q_i(vQ_i-EvQ_i)] \] erhält. In der vorliegenden Abhandlung wird nun bewiesen,dass die Ungleichungen \[ \delta F(vQ_{l-1})\leqq \delta\frac {x^M}{Q_l}, \quad \delta F(vQ_l)\leqq \delta \frac {Q_l}{x^N}, \] die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür sind, dass die Function \(uX-Y\), in der \(X,Y\) ganz und \(X\) von einem Grade, der nicht höher als \(M\), einen Ausdruck liefert, der mit der Function \(v\) bis auf Grössen von der Ordnung \(x^{-N}\)exel. übereinstimmt. In den obigen Ungleichungen bezeichnet \(F(vQ_i)\) die Gesammtheit aller Glieder der Entwickelung der Function \(vQ_i,\) welche die negativen Potenzen der Variabeln enthalten, und \(Q_{l-1},Q_l\) sind die beiden letzten Glieder der Reihe \(Q_1,Q_2,Q_3,\ldots,\) welche miteinander multiplicirt, ein Product geben, dessen Grad kleiner als \(M+N\) ist; \(\delta\) ist, nach der Bezeichnung von Abel,der Grad der Function.

MSC:

41A20 Approximation by rational functions
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