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Algebraic and geometric propositions deduced from the consideration of the cubic roots of unity. (Propositions d’algèbre et de géométrie déduites de la considération des racines cubiques de l’unité.) (French) JFM 09.0325.01
Die Exponentialfunction \(e^{\alpha\vartheta+\alpha^2\varphi}\), in der \(\alpha\) und \(\alpha^2\) die imaginairen dritten Wurzeln der Einheit bedeuten, wird in die Form \[ P(\vartheta,\varphi)+\alpha.R(\vartheta,\varphi)+ \alpha^2Q(\vartheta,\varphi) \] entwickelt, und die Eigenschaften der 3 Functionen \(P(\vartheta,\varphi),\;\; R(\vartheta,\varphi),\) und \(Q(\vartheta,\varphi)\) untersucht. Zwischen diesen bestehen 3 Relationen von der Form \[ \frac{dR}{d\vartheta} \cdot\frac{dQ}{d\varphi} = \frac{d^2P}{d\vartheta d\varphi} = \frac{d^3P}{d\vartheta^3} = \frac{d^3P}{d\varphi^3} = P. \] Für ein constantes \(\varrho\) definiren die drei Coordinanten: \[ x=\varrho P(\vartheta,\varphi),\quad y=\varrho Q(\vartheta,\varphi), \quad z=\varrho R(\vartheta,\varphi) \] die Fläche \[ x^3+y^3+z^3-3xyz=\varrho^3, \] deren asymptotische Linien durch die Gleichungen \[ \vartheta=\text{ const.}, \quad \varphi=\text{ const. } \] gegeben sind. ferner werden die drei Flächenfamilien betrachtet, welche sich für \(\varrho, \vartheta, \varphi\) = const. ergeben.

MSC:
33B10 Exponential and trigonometric functions
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
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Full Text: Gallica