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Note sur la théorie des développoïdes. (French) JFM 09.0433.01
Die Geraden, welche eine Curve unter einem Winkel \(\alpha_1\) schneiden, bilden eine Umhüllungslinie \(C_1\) erster Ordnung. Bildet man zu dieser abermals eine Umhüllungslinie nach dem Parameter \(\alpha_2,\) so entsteht eine Umhüllungslinie zweiter Ordnung \(C_{1,2}\). Hätte man andererseits eine Umhüllungscurve erster Ordnung \(C_2\) nach dem Parameter \(\alpha_2\) gebildet und demnächst die analoge Curve zweiter Ordnung \(C_{2,1}\) nach dem Parameter \(\alpha_1\), so ist \(C_{1,2}\) identisch mit \(C_{2,1}\)
Für dieses Theorem giebt der Verfasser vorliegender Arbeit einen rein geometrisch gehaltenen einfachen Beweis. Wenn \(M\) ein Punkt der ursprünglich gegebenen Curve ist und \(O\) der Krümmungsmittelpunkt, so reichen diese Elemente aus, um eine erzeugende Gerade von \(C_{1,2}\) und \(C_{2,1}\) zu construiren. Legt man an \(MO\) einen Winkel \(\alpha_1\) an, welcher den um \(MO\) als Durchmesser geschlagenen Kreis in \(P_1\) schneidet, so ist \(P_1\) ein Punkt der Curve \(C_1\) und \(P_1O\) Normale in demselben. Legt man daher an \(P_1O\) in \(P_1\) einen Winkel a\(\alpha_2\) an, dessen Schenkel den Kreis in \(P_2\) schneidet, so ist \(P_1P_2\) eine Erzeugende von \(C_{1,2}\). Construirt man in derselben Weise die Erzeugende voll \(C_{2,1}\), so wird man zunächst auf \(P_2\): und dann auf \(P_1\) geführt und findet, dass \(P_2P_1\) auch erzeugende Gerade von \(C_{2,1}\) ist. Da durch diese Gerade nur eine Enveloppe erzeugt wird, so müssen die Umhüllungslinien \(C_{2,1}\) und \(C_{1,2}\) identisch sein. \([\)Siehe auch die Arbeit des Herrn Verfassers in Abschnitt IX Cap. 2A., JFM 09.0478.01 \(]\)
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Full Text: DOI Numdam EuDML