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Sur les surfaces dont les rayons de courbure principaux sont fonctions l’un de l’autre. (French) JFM 09.0440.01
Es sei \(a\) ein Punkt einer Fläche \((S)\), deren Hauptkrümmungsradien \(R_1\) und \(R_2\) durch irgend eine Relation verbunden sind, so dass einem Differential des einen eindeutig ein Differential des anderen entspricht. Auf der Normale \(A\), welche von \(a\) ausgeht, liegen die Hauptkrümmungscentra \(b\) und \(c\); der geometrische Ort der Hauptkrümmungscentra ist eine zweischalige Fläche, deren beide Schalen mit \((B)\) und \((C)\) bezeichnet werden mögen. Verschiebt sich nun \(a\) in Richtung der Krümmungslinie, für welche \(ac = R_1\) der Maximalkrümmungsradius ist, so verändert die Normale \(A\) ihre Lage und mit ihr ändern sich die Krümmungsradien \(ac = R_1\) und \(ab = R_2\). Ihre Veränderungen hängen aber durch die Gleichung zusammen \[ \frac{dR_1}{dR_2} = - \frac{t_1t_2}{(R_1-R_2)^2} . \] worin \(t_1\) und \(t_2\) die Hauptkrümmungsradien der Fläche \((C)\) in \(c\) bedeuten. Lässt man \(a\) in Richtung der anderen Krümmungslinie so weit rücken, dass die Veränderung von \(ab\) denselben Werth \(dR_2\) erhält, so wird, da \(R_1\) und \(R_2\), in obiger Weise verknüpft sind, gleichzeitig die entsprechende Relation statt haben \[ \frac{dR_2}{dR_1} = - \frac{r_1r_2}{(R_1-R_2)^2} . \] worin \(r_1\) und \(r_2\) also die Hauptkrümmungsradien der Fläche \((B)\) für den Punkt \(b\) bezeichnen. Aus beiden Relationen folgt das Theorem des Herrn Halphen, welches derselbe auf analytischem Wege (siehe Bulletin S. M. F. 1876) hergeleitet hat, und das in der Gleichung \[ r_1r_2\cdot t_1t_2 = (R_1-R_2)^4 \] seinen Ausdruck findet. Man folgert leicht aus obigen beiden Relationen noch folgende Sätze:
Wenn \(R_1-R_2=\)const., so haben die beiden Schalen \((B)\) und \((C)\) entgegengesetzte Krümmung, und das Product der Hauptkrümmungsradien von \((B)\) ist gleich dem Product der Hauptkrümmungsradien von \((C)\). Ihr gemeinsamer Werth ist durch \(-(R_1-R_2)^2\) dargestellt.
Wenn \(\frac{R_1}{R_2}=\)const., so ist das Product der Hauptkrümmungsradien von \((B)\) proportional dem analogen Product von \((C)\) und gleich dem entsprechenden Product von \((S)\) im Punkte \(a\).
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